电路怎样变成 ODE

这个附录是 10/20–10/29 几节课的预习。含 capacitor、inductor 的电路列出来的是 differential equation（微分方程，下面简称 ODE），这几节课要学怎样解它，以及怎样用 Laplace transform 把"解 ODE"变成"解代数方程"。

时间紧就先跳过整个附录。

四节的顺序：一阶 ODE → 二阶 ODE（这两节在时域里解）→ Laplace transform 的定义和性质 → 用 Laplace 和 partial fraction expansion 解 ODE（把前两节的方程用新方法再解一遍，答案必须一样）。这一节先看 ODE 是怎么从电路里来的。

① 一个 RC 电路列出来就是 ODE

开关合上以后，电源 $V_s$、电阻 $R$、capacitor $C$ 串成一个回路，回路里只有一个电流 $i$。要求的是 capacitor 电压 $v(t)$。只需要两条元件方程：

1. 电阻。电阻左端接电源正极，电压是 $V_s$；右端就是 capacitor 上端，电压是 $v$。所以电阻两端的电压是 $V_s - v$，Ohm 定律给出 $i = \dfrac{V_s - v}{R}$。
2. capacitor。同一个 $i$ 从 + 端流进 capacitor（passive sign convention），capacitor 的元件方程是 $i = C\dfrac{dv}{dt}$（6·04）。
3. 两式相等，两边再乘 $R$、移项：

$$RC\,\frac{dv}{dt} + v = V_s$$

两边除以 $RC$，写成后面常用的样子：

$$\frac{dv}{dt} + \frac{1}{RC}\,v = \frac{V_s}{RC}$$

这就是一个 ODE：未知量不是一个数，而是一个函数 $v(t)$，方程把 $v$ 和它的导数联系起来。它有三个特点，后面两节的解法都靠它们：

• 一阶：只出现一阶导数。电路里只有一个储能元件（一个 capacitor 或一个 inductor）时就是一阶；有两个（比如一个 L 和一个 C）时会出现二阶导数，见二阶 ODE。
• 线性：$v$ 和 $dv/dt$ 都只以一次方出现，没有 $v^2$、$v\,\dfrac{dv}{dt}$ 这样的项，所以叠加原理成立。
• 常系数：$R$、$C$ 不随时间变，所以 $v$ 前面的系数 $1/RC$ 是常数。

光有方程还定不出 $v(t)$：下一节会看到，解里有一个任意常数。还要知道开关合上那一刻的 capacitor 电压，这叫 initial condition。电流有限时 capacitor 电压不会突变，所以合上之后的初值就等于合上之前的 $v(0)$（6·13）。

② Davis 的写法：把 d/dt 写成 p

Davis 第 6 章把求导记成 $p$，$p\,v = dv/dt$（6·05）。上面的方程写成

$$(RCp + 1)\,v = V_s$$

好处是可以把 $p$ 当成一个数做代数。capacitor 的 impedance operator 是 $Z_C = \dfrac{1}{Cp}$（6·06）。把电路看成 $R$ 和 $\frac{1}{Cp}$ 串联的分压器，直接得到

$$v = \frac{1/(Cp)}{R + 1/(Cp)}\,V_s = \frac{1}{RCp + 1}\,V_s$$

两边乘 $RCp + 1$ 就回到上面的 ODE。也就是说，用 impedance operator 做分压、串并联，本质上就是在列 ODE。

到第 13 章，$p$ 换成 $s$：时间函数 $v(t)$ 换成它的 Laplace transform $V(s)$，求导换成乘 $s$（初值为 0 时），方程变成 $(RCs + 1)\,V(s) = V_s(s)$。$p$ 是作用在时间函数上的运算，$s$ 是一个复数，但代数步骤一模一样。为什么求导会变成乘 $s$，在 Laplace transform 一节解释。三种写法的对照：

$p$ 的记号细节（$\frac1p$ 没有 +C，$p[f\,u] = f'u + f(0)\,\delta$，Davis 的 $u(0) = 0$）都在 6·05，这里不重复。Davis 的 $\otimes$ 就是 Alexander 的 $*$。