C·14

进阶：convolution 与 Laplace 变换

Reference

还没学 Laplace 可以跳过；学完回来看，它提供一个检查 convolution 结果的快捷方法。

展开：Alexander (15.72) 的证明与 Davis 的定义

结论

\mathcal{L}\{f_1(t) * f_2(t)\} = F_1(s)\,F_2(s)

时域 convolution = s 域相乘。Davis 反过来把这当定义（Definition 13.11： $x\otimes y := \mathcal{L}^{-1}\{X(s)Y(s)\}$ ），再用 Theorem 13.12 证明它等于 convolution integral。两条路是同一个等式。

证明（Alexander 15.73–15.78）。 从 $F_1$ 的定义出发，把 $F_2$ 乘进积分里：

F_1(s)F_2(s) = \int_0^\infty f_1(\lambda)\big[F_2(s)e^{-s\lambda}\big]d\lambda

时移性质： $F_2(s)e^{-s\lambda} = \mathcal{L}\{f_2(t-\lambda)u(t-\lambda)\} = \int_0^\infty f_2(t-\lambda)u(t-\lambda)e^{-st}dt$ 。代入并交换积分顺序：

\begin{aligned} F_1(s)F_2(s) &= \int_0^\infty g(t)\,e^{-st}\,dt, \\ g(t) &= \int_0^t f_1(\lambda) f_2(t-\lambda)\,d\lambda \end{aligned}

内层积分 $g(t)$ 的上限变成 $t$ ，因为 $u(t-\lambda) = 0$ 当 $\lambda \gt t$ 。 $g$ 正是 convolution，外层是它的 Laplace 变换。证毕。（Davis 13.8-23 到 13.8-26 是同样的步骤，积分限写成 $-\infty$ 到 $\infty$ ，并说明交换积分顺序需要的数学条件他不推导。）

Davis 为什么要定义它：(13.8-20) 说 $\mathcal{L}^{-1}\{X Y\} \ne x\cdot y$ 。例： $X = Y = 1/s$ ， $x\cdot y = u\cdot u = u$ ，但 $\mathcal{L}^{-1}\{1/s^2\} = t\,u(t)$ 。这个"乘积的逆变换"就是 convolution。

例子	时域结果	Laplace 检查
例 13.54	$u*u = t\,u$	$\tfrac1s\cdot\tfrac1s = \tfrac1{s^2} \leftrightarrow t\,u$ ✓
例 13.55	$2(e^{-t}-e^{-2t})u$	$\tfrac{1}{s+1}\cdot\tfrac{2}{s+2} = \tfrac{2}{s+1}-\tfrac{2}{s+2}$ ✓
Alexander (15.79)	$4e^{-t} * 5e^{-2t} = 20(e^{-t}-e^{-2t})$	$\tfrac{4}{s+1}\cdot\tfrac{5}{s+2} = \tfrac{20}{s+1} - \tfrac{20}{s+2}$ ✓
例 15.14	$h = e^{-t}u$	电流分流 $H(s) = I_o/I_s = \tfrac{1}{s+1}$

Alexander 也提醒： $F_1F_2$ 很复杂、或者 $f_1, f_2$ 只是实验数据没有公式时，还是得在时域里 convolution。