A·09

第 6 章：Heaviside 算子、impulse、one-sided 波形

Heaviside 算子的定义

p=\frac{d}{dt},\qquad \frac1p f(t)=\int_{-\infty}^{t} f(\alpha)\,d\alpha .

它们从左边作用在后面整个函数上。Davis 把 $p, \frac1p$ 叫 differential operators 或 Heaviside operators（式 6.2-8 到 6.2-13）。

课本写法	数学课写法	意思 / 为什么不同	出处	级别
$Cp\,v(t)$	$C\,\dfrac{dv}{dt}$	先求导再乘 $C$ 。不是" $C$ 乘 $p$ 乘 $v$ "三个数相乘。	Davis (6.2-12)	会看不懂
$\dfrac{1}{Cp}\,i(t)$	$\dfrac1C\displaystyle\int_{-\infty}^{t} i\,d\alpha$	读作 $\frac{1}{(Cp)}$ ，即积分后除以 $C$ 。按数学优先级读成 $\frac1C\cdot p$ 就错了。	Davis (6.2-13)	会算错
$2p[12]=0$	方括号常只是分组	方括号表示"算子作用在这个函数上"。 $p[12]$ 是常数 12 的导数， $p[12u(t)]$ 却是 $12\delta(t)$ ，结果完全不同。	Davis 例 6.9–6.10	会算错
$\frac1p$ （没有 $+C$ ）	$\int f\,dt = F + C$	$\frac1p$ 是定积分，下限 $-\infty$ ，所以没有任意常数。代价是要假设 $f(-\infty)=0$ ，这样 $\frac1p\,p\,f=f$ 才成立。	Davis (6.2-24)–(6.2-28)	会算错
one sided 波形	没有对应	$t\le 0$ 时恒为 0 的波形。Davis 从第 6 章起默认所有信号都是 one sided。	Davis §6.2（式 6.2-4 后）	会看不懂
$v_+(t),\ i_+(t)$	$f_+=\max(f,0)$ （正部）	$v_+(t)=v(t)u(t)$ ：把 $t\le0$ 那段砍掉后的 one-sided 版本，可以是负数。	Davis (6.5-6)、图 6.39	会算错
$v(0)$	$v(0)$ 是函数在 0 的值	因为 $u(0)=0$ 、波形从左边连续，Davis 的 $v(0)$ 就是开关前的值，等于 Alexander 的 $v(0^-)$ 。习题里也会写 $v(0-)$ 、 $w(0+)$ （不写成上标）。	Davis (6.5-6)；	会算错
" $t\le 0$ circuit" / " $t>0$ circuit"	—	开关动作前后各画一个电路分别解。注意分界是 $t\le0$ 和 $t>0$ ，跟 $u$ 的定义一致。	Davis 例 6.13	写法不同
$\delta(t)=p\,u(t)$	$u$ 在 0 不可导； $\delta$ 不是函数	书里允许对跳变求"广义导数"：高度为 $A$ 的跳变求导得到面积为 $A$ 的 impulse $A\delta$ 。反过来 $u=\frac1p\delta$ 。	Davis (6.5-17)–(6.5-18)	会算错
$p[f(t)u(t)]$	$(fu)'=f'u+fu'$ ，再说 $u'=0\ (t\neq0)$	等于 $f'(t)u(t)+f(0)\delta(t)$ 。例： $p[\cos t\,u(t)] = -\sin t\,u(t)+\delta(t)$ 。漏掉 $\delta$ 项，再积分回去就对不上了。	Davis (6.6-10)–(6.6-11)	会算错
$f(t)\delta(t-a)=f(a)\delta(t-a)$	$\int f\delta = f(a)$ （筛选性质，写成积分）	Davis 写成两个"函数"相乘的等式，叫 sampling property。数学课通常只写积分形式。	Davis (6.6-7)	会看不懂
$\delta_\epsilon(t)$	近似恒等式 / mollifier	宽度 $\epsilon$ 、面积 1 的窄脉冲， $\epsilon\to0$ 就是 $\delta$ 。	Davis §6.6	写法不同
$P_T(t)=u(t)-u(t-T)$	示性函数 $\mathbf 1_{(0,T]}$	高度 1、宽度 $T$ 的方脉冲。	Davis (6.2-6)	写法不同

为什么要这么写

电路一接通，电压电流在 $t=0$ 处常常跳变。数学课会说"在跳变点不可导，分段处理"；Davis 的做法是让跳变也能求导（多出一个 $\delta$ ），这样整条波形一次写完，后面解微分方程时可以把 $p$ 当代数符号用。