A·03

二阶线性常系数 ODE：characteristic equation 和三种根

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电路里有两个储能元件（比如串联的 L 和 C）时，方程里会出现二阶导数。解法和一阶一样是 forced response 加 natural response，不同的是 natural response 要先解一个二次方程。这个二次方程的根是两个实根、一个重根还是一对复根，决定了波形是单调衰减还是振荡。

① 方程从哪来：串联 RLC

电源 $V_s$ 、 $R$ 、 $L$ 、 $C$ 串成一个回路，求 capacitor 电压 $v$ 。回路电流 $i$ 流过 capacitor，所以 $i = C\,v'$ 。电阻电压 $R\,i = RC\,v'$ ，inductor 电压 $L\,i' = LC\,v''$ 。KVL：三个电压加起来等于电源电压，

LC\,v'' + RC\,v' + v = V_s

两边除以 $LC$ ，把 $v''$ 的系数化成 1：

v'' + \frac{R}{L}\,v' + \frac{1}{LC}\,v = \frac{V_s}{LC}

标准形式

y'' + a_1\,y' + a_0\,y = x(t)\quad (t \gt 0)

$a_1$ 、 $a_0$ 是常数（RLC 里 $a_1 = R/L$ ， $a_0 = 1/(LC)$ ）， $x(t)$ 是输入。要两个 initial condition： $y(0)$ 和 $y'(0)$ 。两个储能元件各给一个：capacitor 电压给 $v(0)$ ，inductor 电流给 $v'(0) = i(0)/C$ 。

② natural response：characteristic equation

先令输入为 0： $y'' + a_1 y' + a_0 y = 0$ 。和一阶一样猜 $y = e^{st}$ ： $y' = s\,e^{st}$ ， $y'' = s^2 e^{st}$ ，代进去得 $(s^2 + a_1 s + a_0)\,e^{st} = 0$ 。 $e^{st}$ 不会是 0，所以 $s$ 必须满足

characteristic equation

s^2 + a_1 s + a_0 = 0

它的两个根是

s_{1,2} = \frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_0}}{2}

左边的多项式 Davis 叫 characteristic polynomial。根的类型看判别式 $a_1^2 - 4a_0$ 的正负，一共三种情况。

情况 1： $a_1^2 \gt 4a_0$ ，两个不等实根 $s_1 \ne s_2$ 。 $e^{s_1t}$ 和 $e^{s_2t}$ 各是一个解；方程是线性的，它们的任意组合也是解：

y_n = A_1\,e^{s_1t} + A_2\,e^{s_2t}

两个常数正好用两个初值来定。电路里两个根都是负的，波形是两个衰减指数之和，不振荡，叫 overdamped（过阻尼）。

情况 2： $a_1^2 = 4a_0$ ，重根 $s_1 = -a_1/2$ 。只得到一个指数 $e^{s_1t}$ ，只有一个常数，满足不了两个初值。第二个解是 $t\,e^{s_1t}$ 。验证：记 $P(s) = s^2 + a_1s + a_0$ ，它的导数是 $P'(s) = 2s + a_1$ 。设 $y = t\,e^{rt}$ ，则 $y' = (1 + rt)\,e^{rt}$ ， $y'' = (2r + r^2t)\,e^{rt}$ ，代进去按 $t$ 整理：

y'' + a_1y' + a_0y = \big[P(r)\,t + P'(r)\big]\,e^{rt}

$r$ 是根，所以 $P(r) = 0$ ；重根时 $r = -a_1/2$ ，所以 $P'(r) = 2r + a_1 = 0$ 。整个式子为 0 ✓。于是

y_n = (A_1 + A_2\,t)\,e^{s_1t}

这是不振荡和振荡的分界，叫 critically damped（临界阻尼）。

情况 3： $a_1^2 \lt 4a_0$ ，一对 complex conjugate 根 $s = -\sigma \pm j\omega$ 。其中 $\sigma = a_1/2$ ， $\omega = \sqrt{a_0 - a_1^2/4}$ 。（电路里虚数单位写 $j = \sqrt{-1}$ ，因为 $i$ 已经是电流。）由 Euler 公式，

e^{(-\sigma + j\omega)t} = e^{-\sigma t}\big(\cos\omega t + j\sin\omega t\big)

方程的系数都是实数，所以一个复数解的实部和虚部分别也是解。取这两个实数解组合：

y_n = e^{-\sigma t}\big(A_1\cos\omega t + A_2\sin\omega t\big)

波形是频率 $\omega$ （rad/s）的振荡，振幅按 $e^{-\sigma t}$ 衰减，叫 underdamped（欠阻尼）。

根	natural response	名字
两个不等实根 $s_1, s_2$	$A_1e^{s_1t} + A_2e^{s_2t}$	overdamped（过阻尼）
重根 $s_1$	$(A_1 + A_2t)\,e^{s_1t}$	critically damped（临界阻尼）
复根 $-\sigma \pm j\omega$	$e^{-\sigma t}(A_1\cos\omega t + A_2\sin\omega t)$	underdamped（欠阻尼，振荡）

③ forced response、初值和步骤

常数输入 $X$ 时，猜 $y_f = K$ ：导数都是 0， $a_0K = X$ ，所以 $y_f = X/a_0$ ，也就是终值。完整解 $y = y_f + y_n$ 里有两个常数，用两个初值定：

化成标准形式，读出 $a_1$ 、 $a_0$ 。
解 characteristic equation，看是哪种根，写出 $y_n$ 的形式。
求 forced response（常数输入： $y_f = X/a_0$ ）。
写出 $y = y_f + y_n$ ，再对它求导得到 $y'$ 。
令 $t = 0$ ，代进 $y$ 和 $y'$ ，得两个线性方程，解出 $A_1$ 、 $A_2$ 。
检查：代回方程和两个初值。

④ 例题：三种根各一个

下面三个例子都是 $L = 1$ H 的串联 RLC，电源为 0（ $x = 0$ ），capacitor 原来充到 1 V、电流为 0，所以初值都是 $y(0) = 1$ 、 $y'(0) = 0$ 。只换 $R$ 和 $C$ ，根的类型就变了。

例题

例 1　overdamped：y″ + 3y′ + 2y = 0

（ $R = 3$ Ω， $C = 0.5$ F： $a_1 = 3$ ， $a_0 = 2$ 。） $y(0) = 1$ ， $y'(0) = 0$ 。

根： $s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2) = 0$ ， $s = -1, -2$ ，两个不等实根。
形式： $y = A_1e^{-t} + A_2e^{-2t}$ （输入为 0，没有 $y_f$ ）。求导： $y' = -A_1e^{-t} - 2A_2e^{-2t}$ 。
代 $t = 0$ ： $y(0) = A_1 + A_2 = 1$ ， $y'(0) = -A_1 - 2A_2 = 0$ 。
解：两式相加得 $-A_2 = 1$ ， $A_2 = -1$ ，再由第一式 $A_1 = 2$ 。

y(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}

检查。 $y' = -2e^{-t} + 2e^{-2t}$ ， $y'' = 2e^{-t} - 4e^{-2t}$ 。 $y'' + 3y' + 2y$ ： $e^{-t}$ 的系数 $2 - 6 + 4 = 0$ ， $e^{-2t}$ 的系数 $-4 + 6 - 2 = 0$ ✓。 $y(0) = 1$ ✓， $y'(0) = 0$ ✓。

例题

例 2　critically damped：y″ + 2y′ + y = 0

（ $R = 2$ Ω， $C = 1$ F： $a_1 = 2$ ， $a_0 = 1$ 。） $y(0) = 1$ ， $y'(0) = 0$ 。

根： $s^2 + 2s + 1 = (s + 1)^2 = 0$ ， $s = -1$ 重根（判别式 $4 - 4 = 0$ ）。
形式： $y = (A_1 + A_2t)\,e^{-t}$ 。求导（乘积法则）： $y' = A_2e^{-t} - (A_1 + A_2t)\,e^{-t}$ 。
代 $t = 0$ ： $y(0) = A_1 = 1$ ； $y'(0) = A_2 - A_1 = 0$ ，所以 $A_2 = 1$ 。

y(t) = (1 + t)\,e^{-t}

检查。 $y' = -t\,e^{-t}$ ， $y'' = (t - 1)\,e^{-t}$ 。 $y'' + 2y' + y = \big[(t - 1) - 2t + (1 + t)\big]e^{-t} = 0$ ✓。 $y(0) = 1$ ✓， $y'(0) = 0$ ✓。

例题

例 3　underdamped：y″ + 2y′ + 5y = 0

（ $R = 2$ Ω， $C = 0.2$ F： $a_1 = 2$ ， $a_0 = 5$ 。） $y(0) = 1$ ， $y'(0) = 0$ 。

根： $s = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm 2j$ 。所以 $\sigma = 1$ ， $\omega = 2$ 。
形式： $y = e^{-t}(A_1\cos 2t + A_2\sin 2t)$ 。求导： $y' = -e^{-t}(A_1\cos 2t + A_2\sin 2t) + e^{-t}(-2A_1\sin 2t + 2A_2\cos 2t)$ 。
代 $t = 0$ ： $\cos 0 = 1$ ， $\sin 0 = 0$ ，所以 $y(0) = A_1 = 1$ ； $y'(0) = -A_1 + 2A_2 = 0$ ， $A_2 = \tfrac12$ 。

y(t) = e^{-t}\Big(\cos 2t + \tfrac12\sin 2t\Big)

检查。把 $y'$ 整理成 $e^{-t}\big[(2A_2 - A_1)\cos 2t - (A_2 + 2A_1)\sin 2t\big] = -\tfrac52\,e^{-t}\sin 2t$ ，再求导 $y'' = \tfrac52\,e^{-t}\sin 2t - 5e^{-t}\cos 2t$ 。 $y'' + 2y' + 5y$ ： $\cos$ 项 $-5 + 0 + 5 = 0$ ， $\sin$ 项 $\tfrac52 - 5 + \tfrac52 = 0$ ✓。 $y(0) = 1$ ✓， $y'(0) = 0$ ✓。

三条都从

y(0) = 1

、

y'(0) = 0

出发。根

-1, -2

：

2e^{-t} - e^{-2t}

；重根

-1

：

(1 + t)e^{-t}

；复根

-1 \pm 2j

：

e^{-t}(\cos 2t + \tfrac12\sin 2t)

，会冲过 0 再回来。

特征根画在复平面上：实根在实轴上（为了不重叠，overdamped 和 critically damped 两组稍微上下错开画），复根成对出现在实轴上下。根越靠左衰减越快，离实轴越远振荡越快。

上面两张图把例 1–3 放在一起（图注里的 $\dot y$ 就是 $y'$ ）。同样的初值下，overdamped 和 critically damped 都单调地回到 0，不穿过 0；underdamped 冲过 0 再回来，振幅按 $e^{-t}$ 衰减。三个例子的 $a_0$ 不一样，所以不能拿这张图比较谁回得快。

例题 · 先自己做

例 4　有常数输入：y″ + 3y′ + 2y = 12（Davis 例 13.2）

$y(0) = 3$ ， $y'(0) = 2$ ， $t \gt 0$ 。下一节会用 Laplace 再解一遍。

看解答

根：和例 1 一样， $-1, -2$ 。
forced response： $y_f = X/a_0 = 12/2 = 6$ 。
完整解： $y = 6 + A_1e^{-t} + A_2e^{-2t}$ ， $y' = -A_1e^{-t} - 2A_2e^{-2t}$ 。
代 $t = 0$ ： $6 + A_1 + A_2 = 3$ ，即 $A_1 + A_2 = -3$ ； $-A_1 - 2A_2 = 2$ 。
解：两式相加 $-A_2 = -1$ ， $A_2 = 1$ ， $A_1 = -4$ 。

y(t) = 6 - 4e^{-t} + e^{-2t}\quad (t \gt 0)

检查。 $y(0) = 6 - 4 + 1 = 3$ ✓。 $y' = 4e^{-t} - 2e^{-2t}$ ， $y'(0) = 2$ ✓。 $y'' = -4e^{-t} + 4e^{-2t}$ ， $y'' + 3y' + 2y$ ： $e^{-t}$ 项 $-4 + 12 - 8 = 0$ ， $e^{-2t}$ 项 $4 - 6 + 2 = 0$ ，常数 $2 \times 6 = 12$ ✓。

常见错误

初值要代进完整解（包括 $y_f$ ）； $y'(0)$ 要先对完整解求导，再代 $t = 0$ 。
重根时写 $A_1e^{s_1t} + A_2e^{s_1t}$ 是错的：两项其实是同一项 $(A_1 + A_2)\,e^{s_1t}$ ，只剩一个常数。第二项要乘 $t$ 。
复根 $-\sigma \pm j\omega$ ：指数里放实部（衰减率 $\sigma$ ），cos、sin 里放虚部 $\omega$ 。
先把 $y''$ 的系数化成 1 再读 $a_1$ 、 $a_0$ ，例如 $LC\,v''$ 那一行要先除以 $LC$ 。

练习 1　overdamped，初速度不为 0

解 $y'' + 4y' + 3y = 0$ ， $y(0) = 0$ ， $y'(0) = 2$ 。

提示

$s^2 + 4s + 3 = (s + 1)(s + 3)$ 。

$y = A_1e^{-t} + A_2e^{-3t}$ 。 $A_1 + A_2 = 0$ ， $-A_1 - 3A_2 = 2$ 。相加得 $-2A_2 = 2$ ， $A_2 = -1$ ， $A_1 = 1$ 。 $y = e^{-t} - e^{-3t}$ 。检查： $y' = -e^{-t} + 3e^{-3t}$ ， $y'(0) = 2$ ✓； $y'' = e^{-t} - 9e^{-3t}$ ， $y'' + 4y' + 3y$ ： $e^{-t}$ 项 $1 - 4 + 3 = 0$ ， $e^{-3t}$ 项 $-9 + 12 - 3 = 0$ ✓。

练习 2　critically damped，常数输入

解 $y'' + 4y' + 4y = 8$ ， $y(0) = 0$ ， $y'(0) = 0$ 。

提示

$s^2 + 4s + 4 = (s + 2)^2$ ， $y_f = 8/4$ 。

重根 $-2$ ， $y_f = 2$ 。 $y = 2 + (A_1 + A_2t)\,e^{-2t}$ 。 $y(0) = 2 + A_1 = 0$ ， $A_1 = -2$ 。 $y' = A_2e^{-2t} - 2(A_1 + A_2t)\,e^{-2t}$ ， $y'(0) = A_2 - 2A_1 = A_2 + 4 = 0$ ， $A_2 = -4$ 。

$y = 2 - (2 + 4t)\,e^{-2t}$ 。检查： $y' = 8t\,e^{-2t}$ ， $y'(0) = 0$ ✓； $y'' = (8 - 16t)\,e^{-2t}$ ； $y'' + 4y' + 4y = (8 - 16t + 32t - 8 - 16t)\,e^{-2t} + 8 = 8$ ✓。