YC.
A·04

Laplace transform：定义、常用变换对、性质

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前两节在时域里解 ODE：猜形状、代初值、解方程组。Laplace transform 换一条路：把每个时间函数 f(t)f(t) 换成一个复变量 ss 的函数 F(s)F(s)。换过去以后，求导变成乘 ss，ODE 就变成代数方程；convolution 变成乘法。这一节先给定义，从定义推出常用的几对，再讲要用的五条性质，每条都说为什么。

定义 F(s)=L{f(t)}=∫0−∞f(t) e−st dtF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt
  • s=σ+jωs = \sigma + j\omega 是一个复数，叫 complex frequency。对每个 ss，积分算出一个数，所以 FF 是 ss 的函数。
  • 约定：时间函数用小写 f(t)f(t)，它的变换用同一个字母的大写 F(s)F(s)。L−1\mathcal{L}^{-1} 表示反过来，由 F(s)F(s) 求 f(t)f(t)（inverse transform）。
  • 积分只看 t≥0t \ge 0。这里的信号都是 one-sided（t<0t \lt 0 时为 0），等于默认乘了 u(t)u(t)。所以下面写 e−ate^{-at} 指的是 e−atu(t)e^{-at}u(t)。
  • Re s\mathrm{Re}\,s 足够大时，e−ste^{-st} 衰减得比 ff 增长得快，积分收敛。能收敛的 ss 的范围叫 region of convergence。解电路只要知道"ss 取得够大都收敛"就够了。
  • 下限写 0−0^-，是为了让 t=0t = 0 处的 δ(t)\delta(t) 整个算进去。由 δ\delta 的 sampling property ∫f(t) δ(t) dt=f(0)\int f(t)\,\delta(t)\,dt = f(0)（6·01），L{δ(t)}=e−s⋅0=1\mathcal{L}\{\delta(t)\} = e^{-s\cdot 0} = 1。
记号 · 积分下限

Alexander 从 0−0^- 积（式 15.1）。Davis 从 −∞-\infty 积（式 13.1-8），但他的信号都是 one-sided，t<0t \lt 0 部分是 0，结果一样。

① 从定义推常用变换对

例题

例 1　u(t)→1/su(t) \to 1/s

求 L{u(t)}\mathcal{L}\{u(t)\}。

t>0t \gt 0 时 u=1u = 1，所以要算 ∫0∞e−st dt\int_0^\infty e^{-st}\,dt。原函数是 −e−st/s-e^{-st}/s：

∫0∞e−st dt=[−e−sts]0∞=0−(−1s)=1s\begin{aligned}\int_0^\infty e^{-st}\,dt &= \Big[-\frac{e^{-st}}{s}\Big]_0^\infty \\ &= 0 - \Big(-\frac1s\Big) = \frac1s\end{aligned}

上限处 e−st→0e^{-st} \to 0 需要 Re s>0\mathrm{Re}\,s \gt 0。

例题

例 2　e−atu(t)→1/(s+a)e^{-at}u(t) \to 1/(s + a)

求 L{e−atu(t)}\mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\}，aa 是常数（可以是复数）。

两个指数合并：e−ate−st=e−(s+a)te^{-at}e^{-st} = e^{-(s+a)t}。这和例 1 的积分一样，只是 ss 换成了 s+as + a：

∫0∞e−(s+a)t dt=1s+a\int_0^\infty e^{-(s+a)t}\,dt = \frac{1}{s + a}

收敛条件 Re s>−Re a\mathrm{Re}\,s \gt -\mathrm{Re}\,a。a=0a = 0 时就回到例 1。

例题 · 先自己做

例 3　t u(t)→1/s2t\,u(t) \to 1/s^2

求 L{t u(t)}\mathcal{L}\{t\,u(t)\}。提示：分部积分。

看解答

分部积分，取 tt 求导、e−ste^{-st} 积分（原函数 −e−st/s-e^{-st}/s）：

∫0∞t e−st dt=[−t e−sts]0∞+1s∫0∞e−st dt\begin{aligned}\int_0^\infty t\,e^{-st}\,dt &= \Big[-\frac{t\,e^{-st}}{s}\Big]_0^\infty \\ &\quad + \frac1s\int_0^\infty e^{-st}\,dt\end{aligned}

边界项：t=0t = 0 时是 0；t→∞t \to \infty 时指数衰减压过 tt 的增长，也是 0。剩下的积分就是例 1 的 1/s1/s，所以结果是 1s⋅1s=1s2\dfrac1s\cdot\dfrac1s = \dfrac{1}{s^2}。

例题

例 4　cos⁡ωt\cos\omega t 和 sin⁡ωt\sin\omega t

求 L{cos⁡ωt}\mathcal{L}\{\cos\omega t\} 和 L{sin⁡ωt}\mathcal{L}\{\sin\omega t\}。

用 Euler 公式拆成两个复指数：cos⁡ωt=12(ejωt+e−jωt)\cos\omega t = \tfrac12\big(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}\big)。每一项都是例 2，a=∓jωa = \mp j\omega：L{ejωt}=1s−jω\mathcal{L}\{e^{j\omega t}\} = \dfrac{1}{s - j\omega}，L{e−jωt}=1s+jω\mathcal{L}\{e^{-j\omega t}\} = \dfrac{1}{s + j\omega}。通分时分母是 (s−jω)(s+jω)=s2+ω2(s - j\omega)(s + j\omega) = s^2 + \omega^2，分子是 (s+jω)+(s−jω)=2s(s + j\omega) + (s - j\omega) = 2s：

L{cos⁡ωt}=12(1s−jω+1s+jω)=12⋅2ss2+ω2=ss2+ω2\begin{aligned}\mathcal{L}\{\cos\omega t\} &= \frac12\Big(\frac{1}{s - j\omega} + \frac{1}{s + j\omega}\Big) \\ &= \frac12\cdot\frac{2s}{s^2 + \omega^2} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}\end{aligned}

同样 sin⁡ωt=12j(ejωt−e−jωt)\sin\omega t = \tfrac{1}{2j}\big(e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}\big)，分子变成 (s+jω)−(s−jω)=2jω(s + j\omega) - (s - j\omega) = 2j\omega：

L{sin⁡ωt}=12j⋅2jωs2+ω2=ωs2+ω2\mathcal{L}\{\sin\omega t\} = \frac{1}{2j}\cdot\frac{2j\omega}{s^2 + \omega^2} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}

② 五条性质

每条先写结论，再说为什么，最后给一个小例子。

1. 线性 (linearity)

L{af+bg}=aF(s)+bG(s)\mathcal{L}\{a f + b g\} = aF(s) + bG(s)

理由：积分是线性的。例：L{3−2e−4t}=3s−2s+4\mathcal{L}\{3 - 2e^{-4t}\} = \frac3s - \frac{2}{s + 4}。

2. 求导 (time differentiation)：这是让 ODE 变成代数方程的那一条。

求导性质（Alexander 15.23、15.24） L{f′}=sF(s)−f(0−)\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0^-) L{f′′}=s2F(s)−s f(0−)−f′(0−)\mathcal{L}\{f''\} = s^2F(s) - s\,f(0^-) - f'(0^-)

理由：分部积分，取 e−ste^{-st} 求导、f′f' 积分：

∫0−∞f′e−st dt=[f e−st]0−∞+s∫0−∞f e−st dt\int_{0^-}^\infty f'e^{-st}\,dt = \Big[f\,e^{-st}\Big]_{0^-}^\infty + s\int_{0^-}^\infty f\,e^{-st}\,dt

上限处 f e−st→0f\,e^{-st} \to 0（ss 够大），下限给出 −f(0−)-f(0^-)，最后一个积分是 sF(s)sF(s)。二阶的公式是把一阶公式用两次：先对 f′f' 用，得 s L{f′}−f′(0−)s\,\mathcal{L}\{f'\} - f'(0^-)，再把 L{f′}\mathcal{L}\{f'\} 代进去。意思是：求一次导 = 乘一次 ss，再减掉初值。初值就这样自动进了方程。

记号 · Davis 的求导公式不减初值

Davis 写 L{p x}=sX(s)\mathcal{L}\{p\,x\} = sX(s)（式 13.3-9），没有减初值。两本书都对，只是记账方式不同。

Alexander 的 f(0−)f(0^-) 是 t=0t = 0 之前那一刻的值。Davis 的波形都是 one-sided，x(0−)=0x(0^-) = 0，所以公式里没有这一项；代价是如果 xx 在 t=0t = 0 从 0 跳到 f(0)f(0)，p xp\,x 里会多出一个 f(0) δ(t)f(0)\,\delta(t)：p[f u]=f′u+f(0) δp[f\,u] = f'u + f(0)\,\delta（6·05）。两边取 Laplace：sF=L{f′u}+f(0)sF = \mathcal{L}\{f'u\} + f(0)，即 L{f′u}=sF−f(0)\mathcal{L}\{f'u\} = sF - f(0)，和 Alexander 一样。

例：f=e−2tf = e^{-2t}，F=1s+2F = \frac{1}{s+2}。Alexander 把它看成对所有 tt 都成立的函数，f(0−)=1f(0^-) = 1：L{−2e−2t}=−2s+2\mathcal{L}\{-2e^{-2t}\} = -\frac{2}{s+2}，而 sF−f(0−)=ss+2−1=−2s+2sF - f(0^-) = \frac{s}{s+2} - 1 = -\frac{2}{s+2} ✓。Davis：p[e−2tu]=−2e−2tu+δp[e^{-2t}u] = -2e^{-2t}u + \delta，变换 −2s+2+1=ss+2=sF-\frac{2}{s+2} + 1 = \frac{s}{s+2} = sF ✓。解 ODE 时 Davis 把这些 δ\delta 项移到方程右边当额外的输入（例 13.2），得到的 ss 域方程和 Alexander 完全一样。

3. 积分 (time integration)

L{∫0−tf(λ) dλ}=F(s)s\mathcal{L}\Big\{\int_{0^-}^t f(\lambda)\,d\lambda\Big\} = \frac{F(s)}{s}

（Alexander 15.28；Davis 写成 1p↔1s\frac1p \leftrightarrow \frac1s。）理由：设 g(t)=∫0−tf dλg(t) = \int_{0^-}^t f\,d\lambda，则 g′=fg' = f，而且 g(0−)=0g(0^-) = 0（还没开始积）。对 gg 用求导性质：F=sG−0F = sG - 0，所以 G=F/sG = F/s。例：∫0tu dλ=t u(t)\int_0^t u\,d\lambda = t\,u(t)，变换是 1/ss=1s2\frac{1/s}{s} = \frac{1}{s^2}，和例 3 一致 ✓。

4a. frequency shift（乘 e−ate^{-at}）

L{e−atf(t)}=F(s+a)\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s + a)

（Alexander 15.19，Davis Table 13.1 Property 3。）理由：e−ate−st=e−(s+a)te^{-at}e^{-st} = e^{-(s+a)t}，所以积分就是 FF 在 s+as + a 处的值。把它用在 tt、cos⁡ωt\cos\omega t、sin⁡ωt\sin\omega t 上，得到下一节重根和复根要用的三对：

t e−at↔1(s+a)2e−σtcos⁡ωt↔s+σ(s+σ)2+ω2e−σtsin⁡ωt↔ω(s+σ)2+ω2\begin{aligned} t\,e^{-at} &\leftrightarrow \frac{1}{(s+a)^2} \\ e^{-\sigma t}\cos\omega t &\leftrightarrow \frac{s + \sigma}{(s+\sigma)^2 + \omega^2} \\ e^{-\sigma t}\sin\omega t &\leftrightarrow \frac{\omega}{(s+\sigma)^2 + \omega^2} \end{aligned}

4b. time shift（延迟 t0>0t_0 \gt 0）

L{f(t−t0) u(t−t0)}=e−st0F(s)\mathcal{L}\{f(t - t_0)\,u(t - t_0)\} = e^{-st_0}F(s)

（Alexander 15.17，Davis Theorem 13.2。）理由：被积函数在 t<t0t \lt t_0 时为 0，积分从 t0t_0 开始。换元 τ=t−t0\tau = t - t_0，e−st=e−st0e−sτe^{-st} = e^{-st_0}e^{-s\tau}，常数 e−st0e^{-st_0} 提到积分外面，剩下的就是 F(s)F(s)。例：u(t−2)↔e−2s/su(t - 2) \leftrightarrow e^{-2s}/s。

5. convolution ↔ 乘积

L{f1∗f2}=F1(s) F2(s)\mathcal{L}\{f_1 * f_2\} = F_1(s)\,F_2(s)

（Alexander 15.72；Davis 干脆用它定义 ⊗\otimes，Definition 13.11。）理由的要点：把 F1F2F_1F_2 写成对 λ\lambda、μ\mu 的双重积分，被积函数里有 e−s(λ+μ)e^{-s(\lambda + \mu)}；令 t=λ+μt = \lambda + \mu 换元，内层积分正好是 ∫0tf1(λ) f2(t−λ) dλ\int_0^t f_1(\lambda)\,f_2(t - \lambda)\,d\lambda，即 convolution，外层是它的 Laplace transform。完整证明在 C·14。例：u∗u=t uu * u = t\,u，对应 1s⋅1s=1s2\frac1s\cdot\frac1s = \frac{1}{s^2} ✓。

③ 汇总

f(t)f(t)（都乘 u(t)u(t)）F(s)F(s)来自
δ(t)\delta(t)11sampling property
u(t)u(t)1/s1/s例 1
tt1/s21/s^2例 3
e−ate^{-at}1/(s+a)1/(s+a)例 2
t e−att\,e^{-at}1/(s+a)21/(s+a)^2frequency shift
cos⁡ωt\cos\omega ts/(s2+ω2)s/(s^2+\omega^2)例 4
sin⁡ωt\sin\omega tω/(s2+ω2)\omega/(s^2+\omega^2)例 4
e−σtcos⁡ωte^{-\sigma t}\cos\omega t(s+σ)/((s+σ)2+ω2)(s+\sigma)/((s+\sigma)^2+\omega^2)frequency shift
e−σtsin⁡ωte^{-\sigma t}\sin\omega tω/((s+σ)2+ω2)\omega/((s+\sigma)^2+\omega^2)frequency shift
性质时域s 域
线性af+bgaf + bgaF+bGaF + bG
求导f′f'sF−f(0−)sF - f(0^-)
求两次导f′′f''s2F−sf(0−)−f′(0−)s^2F - sf(0^-) - f'(0^-)
积分∫0−tf dλ\int_{0^-}^t f\,d\lambdaF/sF/s
frequency shifte−atf(t)e^{-at}f(t)F(s+a)F(s+a)
time shiftf(t−t0) u(t−t0)f(t-t_0)\,u(t-t_0)e−st0F(s)e^{-st_0}F(s)
convolutionf1∗f2f_1 * f_2F1F2F_1F_2
常见错误
  • 时域相乘不是 s 域相乘：u⋅u=u↔1/su\cdot u = u \leftrightarrow 1/s，可是 1s⋅1s=1s2\frac1s\cdot\frac1s = \frac{1}{s^2} 是 t ut\,u 的变换。s 域相乘对应时域 convolution。
  • time shift 要求整个函数一起平移。e−3tu(t−2)e^{-3t}u(t-2) 不能直接写成 e−2s/(s+3)e^{-2s}/(s+3)：先改写 e−3t=e−6e−3(t−2)e^{-3t} = e^{-6}e^{-3(t-2)}，结果是 e−6e−2s/(s+3)e^{-6}e^{-2s}/(s+3)（Davis Theorem 13.2 后的例子）。
  • frequency shift 要把所有的 ss 换成 s+as + a，包括分子：L{e−2tcos⁡3t}=s+2(s+2)2+9\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 3t\} = \dfrac{s+2}{(s+2)^2+9}，不是 s(s+2)2+9\dfrac{s}{(s+2)^2+9}。
  • Alexander 式 15.32 里的 f−1(0−)f^{-1}(0^-) 是 ∫−∞0−f dt\int_{-\infty}^{0^-} f\,dt（t<0t \lt 0 积累的面积），不是反函数。
练习 1　线性 + 查表

求 L{3−2e−4t+5sin⁡3t}\mathcal{L}\{3 - 2e^{-4t} + 5\sin 3t\}。

逐项查表再用线性：3s−2s+4+5⋅3s2+9=3s−2s+4+15s2+9\dfrac3s - \dfrac{2}{s + 4} + \dfrac{5\cdot 3}{s^2 + 9} = \dfrac3s - \dfrac{2}{s+4} + \dfrac{15}{s^2+9}。

练习 2　frequency shift

求 L{e−2tcos⁡3t}\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 3t\}。

L{cos⁡3t}=ss2+9\mathcal{L}\{\cos 3t\} = \dfrac{s}{s^2 + 9}，把每个 ss 换成 s+2s + 2：s+2(s+2)2+9\dfrac{s + 2}{(s+2)^2 + 9}。

练习 3　time shift

求 L{(t−1) u(t−1)}\mathcal{L}\{(t - 1)\,u(t - 1)\}。

这是 t u(t)t\,u(t) 整体右移 1：e−s⋅1s2=e−ss2e^{-s}\cdot\dfrac{1}{s^2} = \dfrac{e^{-s}}{s^2}。