A·11

Davis 13.8 与第 13 章：拉氏变换和 convolution

课本写法	数学课写法	意思 / 为什么不同	出处	级别
$\pounds\{x(t)\}$	$\mathcal L\{f\}$	扫描版里这个手写体 L 看起来像英镑符号 £，就是拉氏变换。	Davis (13.1-12)	写法不同
$x(t)\longleftrightarrow X(s)$	—	读作" $x$ 和 $X$ 是一对变换"。小写时域，大写同字母是它的变换。	Davis (13.1-13)	写法不同
$X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$	$\int_{0}^{\infty}$	Davis 写双边积分，但因为波形 one sided（ $t\le0$ 为 0），实际从 0 积。Alexander 写 $\int_{0^-}^{\infty}$ ，把 $t=0$ 处的 $\delta$ 包进来。	Davis (13.1-8)；Alexander (15.1)	会看不懂
$\pounds\{px\}=sX(s)$	$\mathcal L\{f'\}=sF(s)-f(0)$	Davis 的 $p$ 是广义导数：初值的跳变已经变成 $px$ 里的 $\delta$ ，所以公式里没有初值项。Alexander 用普通导数，所以有 $-f(0^-)$ 。两本书混着用会多减或少减一次初值。	Davis (13.3-9)；Alexander (15.23)	会算错
$\delta^{(n)}$ ， $\delta^{(-1)}=u$	$f^{(n)}$ 是 $n$ 阶导数	$n$ 可以是负数： $\delta^{(-1)}=u$ ， $p$ 让阶数加 1， $\frac1p$ 减 1。 $\delta'=\delta^{(1)}$ 。	Davis (13.2-19)–(13.2-22)	会看不懂
$H(p)$ 、 $\dfrac{1}{(p+a)}$	$H(s)$ 是复变函数	同一个有理式里放 $p$ 是时域算子，放 $s$ 是复数。Davis 13.8 说两者机械上完全一样，可以互换。 $\frac{1}{(p+a)^m}x=e^{-at}\frac{1}{p^m}[e^{at}x]$ 。	Davis (13.8-3)、(13.8-7)	会看不懂
$x(t)\otimes y(t)$	$(f*g)(t)$ ； $\otimes$ 是张量/Kronecker 积	Davis 的convolution 符号，定义为 $\pounds^{-1}\{X(s)Y(s)\}$ ，再证明等于 $\int_{-\infty}^{\infty}x(\alpha)y(t-\alpha)\,d\alpha$ 。	Davis (13.8-21)–(13.8-22)	会算错
$u(t)u(t)=u(t)$ ，但 $u\otimes u=t\,u(t)$	—	书里专门强调：时域乘积不对应 $s$ 域乘积。 $s$ 域相乘对应的是 convolution。	Davis (13.8-20)、例 13.54	会看不懂