A·02

一阶线性 ODE：natural response + forced response

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只含一个 capacitor 或一个 inductor 的电路，列出来都是 $y' + a\,y = x(t)$ 这种方程（ $y'$ 是 $dy/dt$ ）。这一节讲怎样解它：答案总是"一个衰减的指数"加"一个跟着输入走的部分"，再用 initial condition 定出常数。

标准形式

y'(t) + a\,y(t) = x(t)\quad (t \gt 0)

$y(t)$ ：要求的量，比如 capacitor 电压、inductor 电流。
$a$ ：常数。电路里 $a \gt 0$ ：RC 电路 $a = 1/(RC)$ ，RL 电路 $a = R/L$ 。
$x(t)$ ：输入，由电源决定，是已知函数。
$y(0)$ ：initial condition，已知。

读 $a$ 之前先把 $y'$ 的系数化成 1。例如 $RC\,v' + v = V_s$ 要先除以 $RC$ 。

先说结论：解总是两部分相加。

complete response = forced response + natural response

y(t) = y_f(t) + A\,e^{-at}

forced response $y_f$ ：方程的任意一个解，不管初值。形状由输入决定：常数输入得常数，指数输入得同一个指数。
natural response $A\,e^{-at}$ ：把输入换成 0 以后方程的解。形状只由电路本身（ $a$ ）决定。
常数 $A$ 最后用 initial condition 定。

为什么能这样拆。设 $y_f$ 满足 $y_f' + a\,y_f = x$ ， $y$ 是另一个解，两式相减： $(y - y_f)' + a\,(y - y_f) = x - x = 0$ 。所以差 $y_n = y - y_f$ 满足"输入为 0"的方程 $y_n' + a\,y_n = 0$ 。反过来， $y_f$ 加上任何这样的 $y_n$ 也是解。于是问题拆成两个小问题：找一个 $y_f$ ，再找 $y_n$ 的一般形式。

① natural response 和 time constant

$y_n' = -a\,y_n$ ：导数和函数本身成正比，指数函数正是这样。直接验证： $(A e^{-at})' = -a\,A e^{-at}$ ✓， $A$ 取什么都成立。另一种找法到二阶还要用：猜 $y_n = e^{st}$ ，代进去得 $(s + a)\,e^{st} = 0$ ； $e^{st}$ 永远不是 0，所以 $s + a = 0$ ，即 $s = -a$ 。 $s + a = 0$ 就是一阶的 characteristic equation，到二阶会变成一个二次方程。

time constant

$\tau = \dfrac{1}{a}$ ，natural response 写成 $A\,e^{-t/\tau}$ 。 $\tau$ 的单位是秒：RC 电路 $\tau = RC$ ，RL 电路 $\tau = L/R$ （复杂电路里 $R$ 换成从储能元件两端看进去的电阻，见 6·14）。

$\tau$ 说的是 natural response 消失得多快。每过一个 $\tau$ ， $e^{-t/\tau}$ 就乘上 $e^{-1} \approx 0.368$ ：过 1 个 $\tau$ 剩 37%，过 3 个剩 $e^{-3} \approx 5\%$ ，过 5 个剩 $e^{-5} \approx 0.7\%$ 。工程上过了 5 个 $\tau$ 就当暂态结束了，只剩 forced response。

② forced response：常数输入

输入是常数 $X$ （比如 dc 电源）时，猜 $y_f = K$ 也是常数。代进方程： $0 + aK = X$ ，所以 $K = X/a$ 。natural response 衰减完以后只剩它，所以它就是终值 $y(\infty)$ ，在电路里就是 dc steady state 的值（6·12）。

完整解是 $y = X/a + A\,e^{-t/\tau}$ 。令 $t = 0$ ： $y(0) = X/a + A$ ，所以 $A = y(0) - X/a$ 。代回去就得到下面框里的公式。下图是两种典型情况：充电（初值 0、终值 1）和放电（初值 1、终值 0），横轴以 $\tau$ 为单位。

横轴以 time constant

\tau = 1/a

为单位：过 1 个

\tau

剩下的差距是

e^{-1} \approx 37\%

，过 3 个

\tau

剩 5%。

常数输入的一阶公式

y(t) = y(\infty) + \big[\,y(0) - y(\infty)\,\big]\,e^{-t/\tau}

其中 $y(\infty) = X/a$ ， $\tau = 1/a$ 。读法：从初值出发，按指数走向终值，每过一个 $\tau$ ，离终值的差距乘 0.368。只要知道三个数：初值、终值、 $\tau$ 。这就是 6·14 课上的"一阶电路万能公式"，6·16 的 RC 阶跃响应也是它；这里从 ODE 推出了它为什么成立。

③ forced response：指数输入

输入是 $X e^{-bt}$ （ $b \ne a$ ）时，猜 $y_f = K e^{-bt}$ 。理由：指数的导数还是同一个指数，左边每一项都正比于 $e^{-bt}$ ，才可能和右边相等。代进去：

-bK e^{-bt} + aK e^{-bt} = X e^{-bt}

两边约掉 $e^{-bt}$ ，得

K = \frac{X}{a - b}

Davis 把这叫 exponential forced response。 $b = a$ 时分母是 0，这个猜法失效（输入的指数和 natural response 一样），要改猜 $y_f = K\,t\,e^{-at}$ ；代进去 $K e^{-at} - aKt\,e^{-at} + aKt\,e^{-at} = X e^{-at}$ ，得 $K = X$ 。

④ 解题步骤

化成标准形式 $y' + a\,y = x(t)$ ，读出 $a$ 和 $\tau = 1/a$ 。
按输入的形状猜 forced response，代进方程定系数。
写出 complete response $y = y_f + A\,e^{-at}$ 。
令 $t = 0$ ，用 $y(0)$ 求 $A$ 。注意是代进完整的 $y$ 。
检查：代回方程；再看 $t = 0$ 和 $t \to \infty$ 两头对不对。

⑤ 例题

例题

例 1　RC 充电

上一节的 RC 电路， $R = 1$ kΩ， $C = 1$ µF， $V_s = 5$ V，capacitor 原来没电： $v(0) = 0$ 。求 $v(t)$ ，以及 $v(1\text{ ms})$ 、 $v(3\text{ ms})$ 。

标准形式。方程是 $v' + \frac{1}{RC}v = \frac{V_s}{RC}$ 。 $RC = 10^3 \times 10^{-6} = 10^{-3}$ s，所以 $a = 1000\ \text{s}^{-1}$ ， $\tau = 1$ ms。
forced response。右边是常数 $V_s/RC$ ， $K = \dfrac{V_s/RC}{1/RC} = V_s = 5$ V。物理意义：充满以后电流为 0，电阻上没有压降，capacitor 电压等于电源电压。
complete response： $v = 5 + A\,e^{-t/\tau}$ 。
初值： $v(0) = 5 + A = 0$ ，所以 $A = -5$ ：

v(t) = 5\big(1 - e^{-t/\tau}\big)\ \text{V}\quad (t \gt 0)

$v(1\text{ ms}) = 5(1 - e^{-1}) = 3.16$ V， $v(3\text{ ms}) = 5(1 - e^{-3}) = 4.75$ V。

检查。 $v' = 5000\,e^{-1000t}$ ， $v' + 1000\,v = 5000\,e^{-1000t} + 5000 - 5000\,e^{-1000t} = 5000 = V_s/RC$ ✓。 $v(0) = 0$ ✓， $v(\infty) = 5$ V ✓。

例题 · 先自己做

例 2　初值不是 0：capacitor 放电到一个新电压

capacitor 原来充到 8 V。 $t = 0$ 时把它经过电阻接到一个 2 V 的电源上， $RC = 0.5$ s。求 $v(t)$ ，以及过一个 $\tau$ 时的电压。

看解答

标准形式。和例 1 同一个电路， $V_s = 2$ V： $v' + \frac{1}{0.5}v = \frac{2}{0.5}$ ，即 $v' + 2v = 4$ 。 $a = 2$ ， $\tau = 0.5$ s。
终值： $v(\infty) = X/a = 4/2 = 2$ V（等于新电源的电压）。
代公式： $v = 2 + (8 - 2)\,e^{-2t} = 2 + 6\,e^{-2t}$ V。
$t = \tau = 0.5$ s： $v = 2 + 6e^{-1} = 4.21$ V，离终值的差距从 6 V 缩到 2.21 V（乘 0.368）。

检查。 $v' = -12\,e^{-2t}$ ， $v' + 2v = -12\,e^{-2t} + 4 + 12\,e^{-2t} = 4$ ✓， $v(0) = 8$ ✓。这次是从高往低走，公式一样适用。

例题

例 3　输入是衰减的指数

解 $y' + 3y = 4e^{-t}$ ， $y(0) = 0$ 。

标准形式已经是了： $a = 3$ ， $\tau = 1/3$ 。输入 $4e^{-t}$ ： $X = 4$ ， $b = 1 \ne a$ 。
forced response：猜 $y_f = K e^{-t}$ ，代进去 $-K e^{-t} + 3K e^{-t} = 4e^{-t}$ ， $2K = 4$ ， $K = 2$ （就是 $X/(a - b) = 4/2$ ）。
complete response： $y = 2e^{-t} + A\,e^{-3t}$ 。
初值： $y(0) = 2 + A = 0$ ， $A = -2$ ：

y(t) = 2\big(e^{-t} - e^{-3t}\big)\quad (t \gt 0)

检查。 $y' = -2e^{-t} + 6e^{-3t}$ ， $y' + 3y = (-2 + 6)e^{-t} + (6 - 6)e^{-3t} = 4e^{-t}$ ✓， $y(0) = 0$ ✓。

形状。两项都衰减，所以 $y$ 从 0 升起、到顶以后回到 0。顶点在 $y' = 0$ ： $e^{2t} = 3$ ， $t = \tfrac12\ln 3 \approx 0.549$ ， $y \approx 0.770$ 。时间长了衰减慢的 $e^{-t}$ 占主导。

另一种写法：积分因子，以及和 convolution 的关系

标准形式两边乘 $e^{at}$ ，左边正好是一个导数： $\big(e^{at}y\big)' = e^{at}x$ 。从 0 积到 $t$ ： $e^{at}y(t) - y(0) = \int_0^t e^{a\lambda}x(\lambda)\,d\lambda$ 。整理得

y(t) = y(0)\,e^{-at} + \int_0^t e^{-a(t-\lambda)}\,x(\lambda)\,d\lambda

第一项只由初值决定（zero input response），第二项只由输入决定（zero state response），这就是 6·14 课上讲的第一种拆法。新的一点是：第二项正是 $x$ 和 $h(t) = e^{-at}u(t)$ 的 convolution，所以一阶电路的 impulse response 是一个指数。拿例 3 试： $y(0) = 0$ ，第二项是 $4e^{-t}u * e^{-3t}u = 4\cdot\dfrac{e^{-t} - e^{-3t}}{3 - 1} = 2(e^{-t} - e^{-3t})$ ，和上面一样（两个指数的 convolution 公式见 C·08）。

常见错误

用初值定 $A$ 时要代进完整的 $y = y_f + A\,e^{-at}$ ，不能直接令 $A = y(0)$ 。例 1 里 $A = -5$ ，不是 0。
先把 $y'$ 的系数化成 1 再读 $a$ ： $RC\,v' + v = V_s$ 里 $a = 1/(RC)$ ，不是 $RC$ 。
$\tau$ 的单位是秒。kΩ × µF = ms，kΩ × nF = µs。
输入的指数和 natural response 相同（ $b = a$ ）时， $K e^{-at}$ 猜不出来，要用 $K\,t\,e^{-at}$ 。

练习 1　常数输入，初值为负

解 $y' + 5y = 10$ ， $y(0) = -1$ 。

提示

$y(\infty) = 10/5$ ， $\tau = 1/5$ 。

$y(\infty) = 2$ ， $\tau = 0.2$ ，代公式： $y = 2 + (-1 - 2)\,e^{-5t} = 2 - 3e^{-5t}$ 。检查： $y' = 15e^{-5t}$ ， $y' + 5y = 15e^{-5t} + 10 - 15e^{-5t} = 10$ ✓， $y(0) = -1$ ✓。

练习 2　指数输入

解 $y' + y = 3e^{-2t}$ ， $y(0) = 1$ 。

提示

猜 $y_f = K e^{-2t}$ 。

代进去： $-2K + K = 3$ ， $K = -3$ 。 $y = -3e^{-2t} + A\,e^{-t}$ ， $y(0) = -3 + A = 1$ ， $A = 4$ 。所以 $y = 4e^{-t} - 3e^{-2t}$ 。检查： $y' = -4e^{-t} + 6e^{-2t}$ ， $y' + y = 3e^{-2t}$ ✓， $y(0) = 1$ ✓。