YC.
C·06

边界表：定区间、定上下限、查连续

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两个函数都是有限长（矩形、斜坡段）时，重叠部分随 tt 改变，y(t)y(t) 是分段函数。真正花时间的不是积分本身，而是想清楚：tt 要分几段？每一段积分从哪到哪？这一节给一个每次都能用的流程，叫边界表。画图还是用C·04的四步法，边界表只负责定分段和上下限。

边界表 (boundary table) 流程
  1. 选一个函数固定，记下它不为 0 的区间 [a,b][a, b]。另一个翻转平移，原来在 [c,d][c, d]，现在在 [t−d, t−c][t-d,\ t-c]。
  2. 找临界时刻：滑动的两条边 t−dt-d、t−ct-c 分别碰到固定的两条边 aa、bb，解出 4 个 tt：a+c, a+d, b+c, b+da+c,\ a+d,\ b+c,\ b+d。排序，把 tt 轴分成几段。
  3. 每一段的上下限：下限 = max⁡(a, t−d)\max(a,\ t-d)，上限 = min⁡(b, t−c)\min(b,\ t-c)。下限 ≥ 上限就是不重叠，y=0y=0。
  4. 每一段算积分（乘积是矩形、三角形时直接用面积）。
  5. 查连续：两个函数都不含 impulse 时，y(t)y(t) 是连续的，每个临界时刻左右两段的值必须相等。
  6. 查面积：yy 的总面积 = xx 的面积 × hh 的面积（C·09证明）。

逐条解释：

  • 第 2 步：重叠部分的形状只有在某条滑动的边越过某条固定的边时才会改变，所以临界时刻就是"边碰边"的时刻。滑动的边有 2 条，固定的边有 2 条，最多 4 个临界时刻。最小的 a+ca + c 是开始重叠，最大的 b+db + d 是完全离开；所以结果从 a+ca+c 开始、到 b+db+d 结束。
  • 第 3 步：两个区间 [a,b][a,b] 和 [t−d,t−c][t-d, t-c] 的交集，左端是两个左端中较大的，右端是两个右端中较小的。
  • 第 5 步：tt 变一点点，滑动的函数只移一点点，乘积的面积也只变一点点，所以没有跳变。左右两段在临界时刻不相等，一定是某一段算错了。
  • 如果某个函数自己有内部台阶（比如 0 到 1 高 1、1 到 2 高 2），台阶处也是一条"边"，要一起算进临界时刻，积分也要在台阶处拆开。
例题

例 1　Alexander 例 15.12：两个矩形

求 y=x1∗x2y = x_1 * x_2。

-1 1 2 3 4 5 1 2 0 t x1(t)
x1(t)x_1(t)：高 2，宽 1（0 到 1）。
-1 1 2 3 4 5 1 2 0 t x2(t)
x2(t)x_2(t)：高 1，宽 2（1 到 3）。

步骤 1（选谁固定）。固定 x2x_2：[a,b]=[1,3][a,b] = [1,3]。翻转 x1x_1（原在 [c,d]=[0,1][c,d]=[0,1]），x1(t−λ)x_1(t-\lambda) 在 [t−1, t][t-1,\ t] 上，高 2。

步骤 2（临界时刻）。

哪条边碰哪条边方程t意义
滑动右边 tt 碰固定左边 1t=1t = 11开始重叠
滑动左边 t−1t-1 碰固定左边 1t−1=1t-1 = 12x1x_1 完全进入
滑动右边 tt 碰固定右边 3t=3t = 33开始离开
滑动左边 t−1t-1 碰固定右边 3t−1=3t-1 = 34完全离开

步骤 3、4（每一段一张图）。紫色 = 乘积 x1(t−λ) x2(λ)x_1(t-\lambda)\,x_2(\lambda)，高 2×1=22\times 1 = 2，所以 yy = 2 × 重叠长度：

-1 1 2 3 4 5 1 2 0 λ x1(t−λ) x2(λ)
① t<1t\lt 1：不重叠 → y=0y = 0
-1 1 2 3 4 5 1 2 0 λ x1(t−λ) x2(λ)
② 1<t<21\lt t\lt 2：部分进入，重叠 [1, t][1,\ t] → y=2(t−1)y = 2(t-1)
-1 1 2 3 4 5 1 2 0 λ x1(t−λ) x2(λ)
③ 2<t<32\lt t\lt 3：x1x_1 整个在里面，重叠 [t−1, t][t-1,\ t] → y=2y = 2
-1 1 2 3 4 5 1 2 0 λ x1(t−λ) x2(λ)
④ 3<t<43\lt t\lt 4：部分离开，重叠 [t−1, 3][t-1,\ 3] → y=8−2ty = 8-2t
-1 1 2 3 4 5 1 2 0 λ x1(t−λ) x2(λ)
⑤ t>4t\gt 4：已离开 → y=0y = 0
t 的范围下限上限积分y(t)
t<1t\lt 1——不重叠0
1<t<21\lt t\lt 21tt∫1t2 dλ\int_1^t 2\,d\lambda2t−22t-2
2<t<32\lt t\lt 3t−1t-1tt∫t−1t2 dλ\int_{t-1}^t 2\,d\lambda2
3<t<43\lt t\lt 4t−1t-13∫t−132 dλ\int_{t-1}^3 2\,d\lambda8−2t8-2t
t>4t\gt 4——不重叠0

步骤 5（查连续）。

t左边那段右边那段
102(1)−2=02(1)-2 = 0✓
22(2)−2=22(2)-2 = 22✓
328−6=28-6 = 2✓
48−8=08-8=00✓
1 2 3 4 5 1 2 0 t y(t)
结果是梯形：从 1 开始，到 4 结束。
步骤 6（查面积）和起止时刻

x1x_1 面积 2×1=22\times 1 = 2，x2x_2 面积 1×2=21 \times 2 = 2，所以 yy 的面积应为 4。梯形面积 = (上底 1 + 下底 3)/2 × 高 2 = 4 ✓。起点 0+1=10+1 = 1，终点 1+3=41+3 = 4 ✓。

例题

例 2　Alexander 练习 15.12：固定的函数有一个台阶

x1=1x_1 = 1（0<t<10\lt t\lt 1）；x2=1x_2 = 1（0<t<10\lt t\lt 1）、=2= 2（1<t<21\lt t\lt 2）。求 x1∗x2x_1 * x_2。（书上给了答案；先自己做边界表，再看解答。）

-1 1 2 3 1 2 0 t x1(t)
x1x_1：高 1，0 到 1。
-1 1 2 3 1 2 0 t x2(t)
x2x_2：0 到 1 高 1，1 到 2 高 2。
看解答

步骤 1、2。翻转窄而平的 x1x_1：x1(t−λ)=1x_1(t-\lambda) = 1 在 [t−1, t][t-1,\ t] 上。固定 x2x_2，它的边是 0、1（内部台阶）、2。滑动的两条边各碰一遍，临界时刻 0、1、2、3。步骤 3、4 每一段一张图：

-1 1 2 3 1 2 0 λ x2(λ) x1(t−λ)
① 0<t<10\lt t\lt 1：重叠 [0, t][0,\ t]，全在高 1 那块 → y=ty = t
-1 1 2 3 1 2 0 λ x2(λ) x1(t−λ)
② 1<t<21\lt t\lt 2：重叠 [t−1, t][t-1,\ t] 跨过台阶，拆开积：∫t−111+∫1t2=(2−t)+2(t−1)\int_{t-1}^1 1 + \int_1^t 2 = (2-t) + 2(t-1) → y=ty = t
-1 1 2 3 1 2 0 λ x2(λ) x1(t−λ)
③ 2<t<32\lt t\lt 3：重叠 [t−1, 2][t-1,\ 2]，全在高 2 那块 → y=2(3−t)y = 2(3-t)

步骤 5。t=1t=1：11 和 11 ✓；t=2t=2：22 和 6−4=26-4 = 2 ✓；t=3t=3：00 ✓。

1 2 3 1 2 0 t y(t)
y=ty = t（0≤t≤20\le t\le 2），6−2t6 - 2t（2≤t≤32 \le t \le 3），和书上答案一致。
步骤 6

x1x_1 面积 1，x2x_2 面积 1+2=31 + 2 = 3，yy 面积应为 3：∫02t dt+∫23(6−2t) dt=2+1=3\int_0^2 t\,dt + \int_2^3 (6-2t)\,dt = 2 + 1 = 3 ✓。

两个矩形的 convolution 太常用，值得把结果记成一个通式：

两个矩形的 convolution

高 AA、宽 w1w_1 的矩形和高 BB、宽 w2w_2 的矩形（w1≥w2w_1 \ge w_2，都从 0 开始）：

  • 0<t<w20 \lt t \lt w_2：从 0 线性上升，斜率 ABAB；
  • w2<t<w1w_2 \lt t \lt w_1：平在 AB w2AB\,w_2；
  • w1<t<w1+w2w_1 \lt t \lt w_1 + w_2：线性下降到 0。

宽度相等时中间那段长度为 0，结果是三角形。矩形不从 0 开始时，把结果整体右移"两个起点之和"。

为什么：翻转较窄的那个，乘积始终是高 ABAB 的矩形，面积 = ABAB × 重叠长度；重叠长度先从 0 涨到 w2w_2（窄的逐渐进入），保持 w2w_2（窄的整个在宽的里面），再降回 0（逐渐离开）。用例 1 验证：A=2,w2=1A = 2, w_2 = 1，B=1,w1=2B = 1, w_1 = 2，起点之和 1：从 1 升到 2（高 2⋅1⋅1=22\cdot1\cdot1 = 2），平到 3，降到 4 ✓。

练习　两个都不从 0 开始的矩形

x=2x = 2（1<t<41 \lt t \lt 4），h=1h = 1（2<t<32 \lt t \lt 3），其他为 0。用边界表求 x∗hx * h，并用面积检查。

提示

翻转窄的 hh：在 [t−3, t−2][t-3,\ t-2]。临界时刻是 1+2, 1+3, 4+2, 4+31+2,\ 1+3,\ 4+2,\ 4+3。

固定 xx：[a,b]=[1,4][a,b] = [1,4]。h(t−λ)h(t-\lambda) 在 [t−3,t−2][t-3, t-2]。临界时刻 3、4、6、7。乘积恒为 2。

  • 3<t<43 \lt t \lt 4：[1, t−2][1,\ t-2]，y=2(t−3)y = 2(t-3)。
  • 4<t<64 \lt t \lt 6：[t−3, t−2][t-3,\ t-2]，y=2y = 2。
  • 6<t<76 \lt t \lt 7：[t−3, 4][t-3,\ 4]，y=2(7−t)y = 2(7-t)。
  • 其他 0。

连续：t=4t = 4：2 和 2 ✓；t=6t = 6：2 和 2 ✓。面积：xx 面积 6，hh 面积 1，梯形 (2+4)/2×2=6(2 + 4)/2 \times 2 = 6 ✓。也可以用通式：宽 3 和宽 1 的矩形，结果从 1+2=31+2 = 3 开始。

常见错误
  • 漏掉一段：通常是"完全进入"和"开始离开"之间的那一段。两个宽度相等时这一段长度为 0，才会只剩三段。
  • 上下限取反：下限取两个左端中较大的，上限取两个右端中较小的。
  • 忘了函数内部的台阶也是边。