YC.
C·04

四步法：翻转、平移、相乘、积分

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公式 ∫x(λ) h(t−λ) dλ\int x(\lambda)\,h(t-\lambda)\,d\lambda 里最难想象的是 h(t−λ)h(t-\lambda)：把它看成 λ\lambda 的函数，它长什么样？Alexander 把计算拆成四个画图步骤，每一步只做一件事。这一节先讲这四步和"画 h(t−λ)h(t-\lambda)"的规则，再用两个例子各走一遍。后面所有的图解 convolution 都用这四步。

四步法 (Alexander §15.5)
  1. folding（翻转）：把 h(λ)h(\lambda) 沿纵轴镜像，得到 h(−λ)h(-\lambda)。原来在右边的部分跑到左边。
  2. displacement（平移）：把 h(−λ)h(-\lambda) 整体往右移 tt，得到 h(t−λ)h(t-\lambda)。原来在 λ=0\lambda=0 的那一点现在在 λ=t\lambda = t。
  3. multiplication（相乘）：在每个 λ\lambda 上把 h(t−λ)h(t-\lambda) 和 x(λ)x(\lambda) 相乘。
  4. integration（积分）：乘积曲线下的面积就是 y(t)y(t)。换一个 tt，滑动的函数移到新位置，重做第 3、4 步。

为什么第 2 步是往右移 tt：h(t−λ)=h(−(λ−t))h(t - \lambda) = h(-(\lambda - t))，即把 h(−λ)h(-\lambda) 里的 λ\lambda 换成 λ−t\lambda - t，这就是右移 tt。"convolution"这个名字来自第 1 步的折叠 (folding)。

画翻转平移函数的规则

如果 hh 只在 c<t<dc \lt t \lt d 上不为 0，那么 h(t−λ)h(t-\lambda) 只在

t−d  <  λ  <  t−ct-d \;\lt\; \lambda \;\lt\; t-c

上不为 0。

为什么：h(t−λ)≠0h(t-\lambda) \ne 0 要求 c<t−λ<dc \lt t-\lambda \lt d。三边同时减 tt 再乘 −1-1（不等号反向），得 t−d<λ<t−ct-d \lt \lambda \lt t-c。注意左右颠倒了：原来的右端 dd 变成左端 t−dt-d。例如 hh 在 [0,1][0, 1] 上，t=2.5t = 2.5 时 h(t−λ)h(t-\lambda) 在 [1.5, 2.5][1.5,\ 2.5] 上。

例题

例 1　Davis 例 13.54：u(t) ⊗ u(t)

求 x(t)=u(t)x(t) = u(t) 和 y(t)=u(t)y(t) = u(t) 的 convolution（Davis 记号：x⊗y=∫x(α) y(t−α) dαx \otimes y = \int x(\alpha)\,y(t-\alpha)\,d\alpha）。

第 1 步，翻转。y(−λ)=u(−λ)y(-\lambda) = u(-\lambda)：uu 在 λ>0\lambda \gt 0 为 1，翻过来就在 λ<0\lambda \lt 0 为 1。

第 2 步，平移。右移 tt：u(t−λ)u(t-\lambda) 在 λ<t\lambda \lt t 为 1，在 λ>t\lambda \gt t 为 0。（端点 λ=t\lambda = t 上的值，按 Davis 的 u(0)=0u(0) = 0 是 0；单个点不影响积分。）

-2 -1 1 2 3 1 0 λ x(λ) = u(λ) y(−λ)
翻转：u(−λ)u(-\lambda) 在 λ<0\lambda\lt 0 处为 1。
-2 t = 1.5 3 1 0 λ u(λ) u(t−λ) 面积 = t
平移到 t=1.5t = 1.5：u(t−λ)u(t-\lambda) 在 λ<t\lambda \lt t 处为 1。和 u(λ)u(\lambda) 重叠的是 0<λ<t0\lt \lambda\lt t，紫色面积。

第 3 步，相乘。u(λ) u(t−λ)=1u(\lambda)\,u(t-\lambda) = 1 当且仅当 λ>0\lambda \gt 0 且 λ<t\lambda \lt t。t≤0t \le 0 时没有这样的 λ\lambda，乘积处处为 0；t>0t \gt 0 时乘积在 0<λ<t0 \lt \lambda \lt t 上为 1。

第 4 步，积分。t≤0t \le 0：y=0y = 0。t>0t \gt 0：面积是宽 tt、高 1 的矩形：

u(t)⊗u(t)=∫0t1 dα=t(t>0)u⊗u=t u(t)\begin{aligned} u(t)\otimes u(t) &= \int_0^t 1\,d\alpha = t \quad (t\gt 0) \\ u\otimes u &= t\,u(t) \end{aligned}
-1 1 2 3 1 2 3 0 t u ⊗ u = t u(t)
结果是从 0 开始的斜坡 (ramp)。
检查

t=2t = 2：重叠宽 2、高 1，面积 2 = tt ✓。

和直接相乘比较：u(t)⋅u(t)=u(t)u(t)\cdot u(t) = u(t)（0×0=00\times0 = 0，1×1=11\times 1 = 1），而 u⊗u=t u(t)u\otimes u = t\,u(t)。convolution 不是乘法，这正是 Davis 在式 (13.8-20) 处用同一个例子强调的。

例题

例 2　翻转一个斜坡

x(t)=u(t)x(t) = u(t)，h(t)=th(t) = t（0<t<20 \lt t \lt 2），其他为 0。用四步法求 y(1)y(1) 和 y(3)y(3)，再写出整个 y(t)y(t)。（这里故意翻不对称的 hh，练习画 h(t−λ)h(t-\lambda)。）

第 1 步，翻转。h(−λ)=−λh(-\lambda) = -\lambda，在 −2<λ<0-2 \lt \lambda \lt 0 上：斜坡被镜像到左边，高的一端在 λ=−2\lambda = -2。

-3 -2 -1 1 2 3 1 2 0 λ h(λ) h(−λ)
青色 h(λ)h(\lambda)：0 到 2 的上升斜坡。橙色 h(−λ)h(-\lambda)：镜像以后变成下降的，在 −2-2 到 0。

第 2 步，平移。画图规则（c=0, d=2c = 0,\ d = 2）：h(t−λ)=t−λh(t-\lambda) = t - \lambda，在 t−2<λ<tt-2 \lt \lambda \lt t 上，高的一端在左边 λ=t−2\lambda = t-2。第 3、4 步按 tt 分三种情况，紫色是乘积：

-2 -1 1 2 3 4 1 2 0 λ h(t−λ) u(λ)
① t<0t\lt 0：斜坡全在 0 的左边 → 不重叠，y=0y = 0
-2 -1 1 2 3 4 1 2 0 λ h(t−λ) u(λ)
② 0<t<20\lt t\lt 2：重叠 [0, t][0,\ t]，三角形底 tt、高 tt → y=∫0t(t−λ) dλ=t2/2y = \int_0^t (t-\lambda)\,d\lambda = t^2/2
-2 -1 1 2 3 4 1 2 0 λ h(t−λ) u(λ)
③ t>2t\gt 2：整个斜坡落在 uu 上，三角形底 2、高 2 → y=2y = 2

结果。y=0y = 0（t<0t\lt 0），t2/2t^2/2（0<t<20\lt t\lt 2），2（t>2t \gt 2）。所以 y(1)=1/2y(1) = 1/2（图 ②），y(3)=2y(3) = 2（图 ③）。

1 2 3 4 1/2 1 2 0 t y(t) y(1) y(3)
y=t2/2y = t^2/2 升到 2，然后保持。
检查

t=2t = 2：22/2=22^2/2 = 2，两段连续 ✓。终值 2 = hh 的面积 12⋅2⋅2\tfrac12\cdot 2\cdot 2 ✓（和 uu 卷，就是把 hh 从头积到现在）。

画翻转平移的函数时常见的错误
  • 翻转后忘了平移，或者平移方向反了：t>0t \gt 0 时是往右移 tt。
  • 斜坡翻过来以后，高的一端在左边。
  • 被积函数里写 t−λt - \lambda，不要写成 tt 或 λ\lambda。