YC.
C·10

总技巧：拆输入，平移叠加

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前面每一节都在算"一个输入和一个 hh 的 convolution"。这时不要对整个输入做一次大积分，而是把输入拆成几块，只算一个基本块的响应，剩下的全靠平移和相加。拆信号的方法（每个跳变加一个阶跃、每个斜率变化加一个斜坡）在第 6 章部分讲过（6·02）。

总技巧
  1. 把输入写成基本块之和：Ak δ(t−tk)A_k\,\delta(t-t_k)、Ak u(t−tk)A_k\,u(t-t_k)、Ak r(t−tk)A_k\,r(t-t_k)（r=t u(t)r = t\,u(t) 是斜坡）或 Ak P(t−tk)A_k\,P(t-t_k)（PP 是一个脉冲）。
  2. 只算一个基本块的响应：impulse → hh；阶跃 → s=u∗hs = u * h（step response，即 hh 的 running integral）；斜坡 → r∗hr * h；脉冲 → Q=P∗hQ = P * h。
  3. 每一块的响应 = AkA_k × 基本响应晚 tkt_k。
  4. 全部相加，再按 tt 分段化简。

理由只有两条：time-invariant（输入的一块晚 tkt_k，它的响应也晚 tkt_k）和 linear（各块的响应相加、乘系数）。用 convolution 的语言说，就是分配律加平移规则（C·09）。

下面三个例子用同一个系统：1 秒的滑动平均 (moving average)，h(t)=u(t)−u(t−1)h(t) = u(t) - u(t-1)，也就是 y(t)=∫t−1tx(λ) dλy(t) = \int_{t-1}^{t} x(\lambda)\,d\lambda：输出 = 输入在过去 1 秒里的面积。它的两个基本响应只需算一次（都是 running integral）：

1 2 3 1 0 t u(t) s(t)
阶跃的响应 s=u∗hs = u * h：先升 1 秒，然后平在 1。
1 2 3 1 2 0 t r(t) R(t)
斜坡的响应 R=r∗hR = r * h：先是抛物线 t2/2t^2/2，t>1t \gt 1 后是直线 t−12t - \tfrac12（比 rr 晚半秒）。

A. 阶梯输入：每个台阶 = 一个阶跃

例题

例 1　四级阶梯

输入 x(t)x(t)：0–1 高 1，1–2 高 3，2–4 高 2，之后为 0（下面第 ① 张图）。求滑动平均的输出 y(t)y(t)。

1 2 3 4 5 1 2 3 0 t x(t) +1 +2 −1 −2
① 读跳变：x=u(t)+2u(t−1)−u(t−2)−2u(t−4)x = u(t) + 2u(t-1) - u(t-2) - 2u(t-4)。
1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 0 t 2s(t−1) s(t) −s(t−2) −2s(t−4)
② 每个阶跃 Aku(t−tk)A_k u(t-t_k) → Ak s(t−tk)A_k\,s(t-t_k)：橙色正、紫色负。
1 2 3 4 5 1 2 3 0 t y x
③ 四条相加 = yy（青色）。每个台阶变成一段 1 秒长的斜坡。

算式。四个阶跃各给一个缩放、平移的 ss；s(t−tk)s(t-t_k) 在 tkt_k 到 tk+1t_k + 1 之间是 t−tkt - t_k，之后是 1：

y=s(t)+2s(t−1)−s(t−2)−2s(t−4)\begin{aligned} y &= s(t) + 2s(t-1) \\ &\quad - s(t-2) - 2s(t-4) \end{aligned}

分段（每一段把"正在上升"的项和"已经平了"的项加起来）：y=ty = t（0–1），2t−12t - 1（1–2），5−t5 - t（2–3），22（3–4），10−2t10 - 2t（4–5），之后为 0。

检查

直接用"过去 1 秒的面积"：t=2.5t = 2.5 时窗口 [1.5, 2.5][1.5,\ 2.5] 里有 0.5 秒高 3、0.5 秒高 2，面积 2.5；式子 5−2.5=2.55 - 2.5 = 2.5 ✓。面积：xx 面积 1+3+4=81 + 3 + 4 = 8，hh 面积 1，yy 面积 0.5+2+2.5+2+1=80.5 + 2 + 2.5 + 2 + 1 = 8 ✓。换一种拆法（每秒一个脉冲，Q=P∗hQ = P * h 是 0 到 2、峰值 1 的三角形）：y=Q+3Q(t−1)+2Q(t−2)+2Q(t−3)y = Q + 3Q(t-1) + 2Q(t-2) + 2Q(t-3)，t=2.5t = 2.5 时 0+1.5+1+0=2.50 + 1.5 + 1 + 0 = 2.5 ✓。

B. 有斜边的输入：每个斜率变化 = 一个斜坡

例题

例 2　梯形输入

输入是梯形：0–1 从 0 升到 1，1–2 平在 1，2–3 降回 0。求滑动平均的输出。

1 2 3 4 5 1 0 t x(t) +r −r −r +r
① 读斜率变化：x=r(t)−r(t−1)−r(t−2)+r(t−3)x = r(t) - r(t-1) - r(t-2) + r(t-3)。
1 2 3 4 5 -2 2 4 0 t
② 每个斜坡 Akr(t−tk)A_k r(t-t_k) → AkR(t−tk)A_k R(t-t_k)：橙色是 R(t)R(t)、R(t−3)R(t-3)，紫色是 −R(t−1)-R(t-1)、−R(t−2)-R(t-2)。
1 2 3 4 5 .5 1 0 t x y
③ 相加：四条直线部分互相抵消，只剩 0 到 4 的一个圆滑的鼓包。

算式。斜率在 0 处 0 → 1（+r+r），1 处 1 → 0（−r-r），2 处 0 → −1（−r-r），3 处 −1 → 0（+r+r）。每个斜坡给一个缩放、平移的 RR：

y=R(t)−R(t−1)−R(t−2)+R(t−3)\begin{aligned} y &= R(t) - R(t-1) \\ &\quad - R(t-2) + R(t-3) \end{aligned}

分段。R(t−tk)R(t-t_k) 在 tkt_k 到 tk+1t_k + 1 之间是 (t−tk)2/2(t-t_k)^2/2，之后是 t−tk−12t - t_k - \tfrac12。逐段相加：

y={t2/2,0<t<1t−12−(t−1)22,1<t<21−(t−2)22,2<t<372−t+(t−3)22,3<t<4y = \begin{cases} t^2/2, & 0\lt t\lt 1 \\ t - \tfrac12 - \tfrac{(t-1)^2}{2}, & 1\lt t\lt 2 \\ 1 - \tfrac{(t-2)^2}{2}, & 2\lt t\lt 3 \\ \tfrac72 - t + \tfrac{(t-3)^2}{2}, & 3\lt t\lt 4 \end{cases}
检查

连续：t=1t = 1：12\tfrac12 和 12\tfrac12；t=2t = 2：1 和 1；t=3t = 3：12\tfrac12 和 12\tfrac12；t=4t = 4：0 ✓。t>4t \gt 4：四个直线部分 (t−12)−(t−32)−(t−52)+(t−72)=0(t-\tfrac12) - (t-\tfrac32) - (t-\tfrac52) + (t - \tfrac72) = 0 ✓。峰值 y(2)=1y(2) = 1：窗口 [1,2][1, 2] 正好盖住平顶。面积：2×1=22 \times 1 = 2；四段 16+56+56+16=2\tfrac16 + \tfrac56 + \tfrac56 + \tfrac16 = 2 ✓。

输入的四个折角在输出里都被磨圆了：斜坡经过滑动平均变成"抛物线接直线"。

C. 反过来：想要某个输出，输入该是什么

例题

例 3　由目标输出反推输入

想让同一个滑动平均的输出是：0 到 2 秒从 0 线性升到 2，保持 2 到 t=4t = 4，再用 1 秒线性降到 0（下面第 ① 张图）。输入应该是什么？

思路。A 里看到：一个高 AkA_k 的台阶 Aku(t−tk)A_k u(t-t_k) 在输出里产生"从 tkt_k 开始、斜率 AkA_k、持续 1 秒的斜坡，然后平"。所以猜输入是阶梯 x=∑Aku(t−tk)x = \sum A_k u(t-t_k)，从左往右用 linear 反推系数：

  • 0<t<10\lt t\lt 1：目标斜率 1，只有 t=0t = 0 的台阶在升 → A0=1A_0 = 1。
  • 1<t<21\lt t\lt 2：目标斜率还是 1，可 t=0t = 0 那块已经平了 → 在 t=1t = 1 再加 A1=1A_1 = 1。
  • 2<t<42\lt t\lt 4：目标是平的，前两块都已平，y=A0+A1=2y = A_0 + A_1 = 2 ✓，不用加。
  • 4<t<54\lt t\lt 5：目标斜率 −2 → 在 t=4t = 4 加 A4=−2A_4 = -2。之后 y=1+1−2=0y = 1 + 1 - 2 = 0 ✓。
1 2 3 4 5 1 2 0 t 目标 y
① 目标：斜率 1（0–2）、0（2–4）、−2（4–5）。
1 2 3 4 5 -2 1 2 0 t s(t) s(t−1) −2s(t−4)
② 每个斜率变化用一个缩放、平移的 ss 来拼；三条相加（青色）= 目标。
1 2 3 4 5 1 2 0 t x(t)
③ 读出输入：x=u(t)+u(t−1)−2u(t−4)x = u(t) + u(t-1) - 2u(t-4)。
x=u(t)+u(t−1)−2u(t−4)x = u(t) + u(t-1) - 2u(t-4)

即 0–1 高 1，1–4 高 2，之后为 0。

检查（正向算一遍）

y=s(t)+s(t−1)−2s(t−4)y = s(t) + s(t-1) - 2s(t-4)：0–1 为 tt；1–2 为 1+(t−1)=t1 + (t-1) = t；2–4 为 2；4–5 为 2−2(t−4)=10−2t2 - 2(t-4) = 10 - 2t；之后 0 ✓。

滑动平均的一条规律

y(t)=∫t−1txy(t) = \int_{t-1}^t x 对 tt 求导：y′(t)=x(t)−x(t−1)y'(t) = x(t) - x(t-1)，即"刚进窗口的减去刚出窗口的"。所以输入的每个台阶都在输出里变成一段 1 秒长的斜坡（A、C），而且输入不取负值时，输出从 2 降到 0 至少要 1 秒。