翻哪一个？例 15.13 的两种做法

方法 1：翻转 $g$。$g(t-\lambda) = t-\lambda$，在 $t-1 \lt \lambda \lt t$ 上不为 0；固定的 $u(\lambda)$ 在 $\lambda \gt 0$ 上为 1。临界时刻：滑动右边 $t$ 碰 0 → $t = 0$；滑动左边 $t-1$ 碰 0 → $t = 1$。

用积分做同样的事：$0 \lt t \lt 1$ 时 $\int_0^t (t-\lambda)\,d\lambda = t^2/2$；$t \gt 1$ 时重叠 $[t-1, t]$，代入下限 $t-1$ 要展开 $(t-1)^2 = t^2 - 2t + 1$：

$$\begin{aligned} y &= \Big[t\lambda - \tfrac{\lambda^2}{2}\Big]_{t-1}^t \\ &= \frac{t^2}{2} - \Big[t(t-1) - \frac{t^2-2t+1}{2}\Big] \\ &= \frac{t^2}{2} - \frac{t^2 - 1}{2} = \frac12 \end{aligned}$$

方法 2：翻转 $u$。$u(t-\lambda) = 1$ 当 $\lambda \lt t$，否则为 0。所以乘积 $g(\lambda)\,u(t-\lambda)$ 就是 $g(\lambda)$ 本身，只是在 $\lambda = t$ 处被截断：

方法 2 的积分里只有 $\lambda$，没有 $t - \lambda$，代入上下限也不用展开平方，明显更省事。

设置。$f_2$ 是平的，翻它：$f_2(t-\lambda) = 1$ 在 $[t-2,\ t-1]$ 上，是一个宽 1 的窗口。固定 $f_1$ 在 $[0, 2]$。结果从 $0 + 1 = 1$ 开始、到 $2 + 2 = 4$ 结束，临界时刻 1、2、3、4。被积函数就是 $\sin(\pi\lambda)$，原函数 $-\cos(\pi\lambda)/\pi$。每一段一张图（紫色 = 被积函数，在 0 以下的部分算负面积）：

化简用到 $\cos(\pi(t-1)) = -\cos\pi t$、$\cos(\pi(t-2)) = \cos\pi t$。$t\lt 1$ 或 $t \gt 4$：不重叠，$y = 0$。

看中间那段。$\tfrac{2}{\pi}\cos\pi t = \tfrac{2}{\pi}\sin\big(\pi(t - 1.5)\big)$：还是同一个正弦，只是缩小到 $2/\pi \approx 0.64$ 倍、晚了 1.5 秒（窗口中心在 1.5）。宽 1 的窗口把正弦"抹平"了一些。

另一种做法：running integral + 分配律。$f_2 = u(t-1) - u(t-2)$。设 $F = f_1 * u = \int_{-\infty}^t f_1$：$F = (1 - \cos\pi t)/\pi$（$0 \lt t \lt 2$），$t \gt 2$ 时为 0（一个整周期积完回到 0）。和 $u(t-1)$ 卷 = $F$ 晚 1（C·09的平移规则），所以 $y = F(t-1) - F(t-2)$。检查 $2 \lt t \lt 3$：$\tfrac{1+\cos\pi t}{\pi} - \tfrac{1-\cos\pi t}{\pi} = \tfrac{2\cos\pi t}{\pi}$ ✓。