YC.
C·09

七条性质，以及平移、面积规则

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下面这些性质让很多 convolution 不用真的积分就能写出来，也能用来检查答案。Alexander 列了七条（编号沿用他的）；后面再补一条平移规则和两条检查规则（起止时刻、面积）。每一条都说明为什么成立，并给一个最小的例子。

① 代数性质：交换律、分配律、结合律

  • 性质 1，交换律：x∗h=h∗xx * h = h * x。证明见C·03。
  • 性质 2，分配律 (distributive)：f∗(x+y)=f∗x+f∗yf * (x + y) = f * x + f * y。积分对被积函数是线性的，所以和可以拆开积；常数也可以提出来：(kx)∗h=k (x∗h)(kx) * h = k\,(x * h)。用途：把分段信号拆成阶跃或矩形之和，例如脉冲 =u(t)−u(t−2)= u(t)-u(t-2)（C·08例 2 解法 A）。
  • 性质 3，结合律 (associative)：f∗(x∗y)=(f∗x)∗yf * (x * y) = (f * x) * y。用途：两个系统串联，输入 xx 先过 h1h_1 得 w=x∗h1w = x * h_1，再过 h2h_2 得 y=w∗h2=x∗(h1∗h2)y = w * h_2 = x * (h_1 * h_2)：总的 impulse response 是 h1∗h2h_1 * h_2。

② 和 δ 卷积：原样复制、平移

  • 性质 4：f∗δ=ff * \delta = f。写出积分 ∫f(λ) δ(t−λ) dλ\int f(\lambda)\,\delta(t-\lambda)\,d\lambda：作为 λ\lambda 的函数，δ(t−λ)\delta(t-\lambda) 是位于 λ=t\lambda = t、面积 1 的 impulse；由 sampling（sifting）property（6·01），积分把 ff 在 λ=t\lambda = t 的值挑出来，得 f(t)f(t)。
  • 性质 5：f∗δ(t−t0)=f(t−t0)f * \delta(t-t_0) = f(t-t_0)。同理，δ(t−t0−λ)\delta(t-t_0-\lambda) 位于 λ=t−t0\lambda = t - t_0，挑出 f(t−t0)f(t-t_0)。带面积：f∗A δ(t−t0)=A f(t−t0)f * A\,\delta(t-t_0) = A\,f(t-t_0)。和 impulse 卷积 = 平移并缩放；这正是C·01例 1：3δ(t−2)∗t e−tu(t)=3(t−2) e−(t−2)u(t−2)3\delta(t-2) * t\,e^{-t}u(t) = 3(t-2)\,e^{-(t-2)}u(t-2)。
  • 性质 6：f∗δ′=f′f * \delta' = f'。
1 2 3 4 1 0 t f(t) δ(t−2.5)
ff 是 0 到 1 的三角形。
1 2 3 4 1 0 t f(t−2.5)
f∗δ(t−2.5)f * \delta(t - 2.5)：形状不变，整个往右挪 2.5。
有 impulse 时结果可以不连续

C·06边界表的"结果连续"只在两个函数都不含 impulse 时成立。比如 δ∗u=u\delta * u = u 在 0 处跳变，f∗δ(t−t0)f * \delta(t - t_0) 会把 ff 的跳变原样搬过去。和 δ\delta 卷积时直接用性质 4、5，不要画边界表。

③ 和 u 卷积：running integral

  • 性质 7：f∗u=∫−∞tf(λ) dλf * u = \int_{-\infty}^t f(\lambda)\,d\lambda，即 C·07的 running integral（Davis：f⊗u=1pff \otimes u = \frac1p f）。小检查：δ∗u=∫−∞tδ=u\delta * u = \int_{-\infty}^t \delta = u；[u(t)−u(t−1)]∗u=r(t)−r(t−1)[u(t) - u(t-1)] * u = r(t) - r(t-1)（脉冲从头积：先升 1 秒，然后平在 1；r=t u(t)r = t\,u(t) 是斜坡）。

④ 平移规则

平移规则

如果 x∗h=yx * h = y，那么

x(t−t1)∗h(t−t2)=y(t−t1−t2)x(t-t_1) * h(t-t_2) = y(t - t_1 - t_2)

两个都晚，结果晚"两个延迟之和"。

为什么：x(t−t1)=x∗δ(t−t1)x(t-t_1) = x * \delta(t-t_1)，h(t−t2)=h∗δ(t−t2)h(t-t_2) = h * \delta(t-t_2)（性质 5）。用交换律、结合律重新组合：x∗δ(t−t1)∗h∗δ(t−t2)=(x∗h)∗[δ(t−t1)∗δ(t−t2)]x * \delta(t-t_1) * h * \delta(t-t_2) = (x * h) * [\delta(t-t_1) * \delta(t-t_2)]。最后一项用性质 5（f=δ(t−t1)f = \delta(t-t_1)）是 δ(t−t1−t2)\delta(t-t_1-t_2)，再用一次性质 5 就得 y(t−t1−t2)y(t-t_1-t_2)。用途：先用从 0 开始的信号算，最后整体平移，比直接对平移过的信号积分省事。

⑤ 两条检查规则：起止时刻和面积

起止时刻和面积

(a) xx 只在 (a,b)(a, b) 上不为 0，hh 只在 (c,d)(c, d) 上不为 0，则 y=x∗hy = x * h 只在 (a+c, b+d)(a+c,\ b+d) 上不为 0：起点相加，终点相加，宽度相加。

(b) 两个面积都有限时：

∫−∞∞y(t) dt=(∫−∞∞x dt)(∫−∞∞h dt)\int_{-\infty}^{\infty} y(t)\,dt = \Big(\int_{-\infty}^{\infty} x\,dt\Big)\Big(\int_{-\infty}^{\infty} h\,dt\Big)

(a) 的理由在C·06：第一次重叠在 t−c=at - c = a，最后一次在 t−d=bt - d = b。(b) 的理由：交换积分顺序，

∫y dt=∫ ⁣ ⁣∫x(λ) h(t−λ) dλ dt=∫x(λ)[∫h(t−λ) dt]dλ=∫x(λ) Ah dλ=Ax Ah\begin{aligned} \int y\,dt &= \int\!\!\int x(\lambda)\,h(t-\lambda)\,d\lambda\,dt \\ &= \int x(\lambda)\Big[\int h(t-\lambda)\,dt\Big]d\lambda \\ &= \int x(\lambda)\,A_h\,d\lambda = A_x\,A_h \end{aligned}

中括号里是把 hh 平移 λ\lambda 以后的面积，平移不改变面积，所以等于 hh 的面积 AhA_h。例：第 04 节例 1，Ax=2A_x = 2、Ah=2A_h = 2，梯形面积 4 ✓。注意 uu 的面积是无穷大，和 uu 卷积时这条用不了。

⑥ Davis 的求导性质

Davis 用 pp 表示 d/dtd/dt。(13.8-33) 说 convolution 的导数可以随意分给两个因子（jj 取 0,1,…,k0, 1, \dots, k 中任意一个）：

pk{x⊗y}=pjx⊗pk−jyp^k\{x\otimes y\} = p^j x \otimes p^{k-j} y

理由（13.8-34）：两边的 Laplace 变换都是 skX(s)Y(s)s^k X(s)Y(s)（Davis 约定 L{px}=sX(s)\mathcal{L}\{px\} = sX(s)，没有初值项）。小检查：k=1, j=1k=1,\ j=1，x=y=ux=y=u。左边 p{t u(t)}p\{t\,u(t)\}：按 Davis 的规则 p[f u]=f′u+f(0)δp[f\,u] = f'u + f(0)\delta，f=tf = t 时 f(0)=0f(0) = 0，得 u(t)u(t)。右边 pu⊗u=δ⊗u=upu \otimes u = \delta\otimes u = u。相等 ✓。Davis 用它把含 impulse 的 convolution 变成普通函数的 convolution 再求导；

⑦ 例题

例题

例 1　只用性质，一行一题

r(t)=t u(t)r(t) = t\,u(t) 是斜坡。不积分，求：(a) [δ(t)−δ(t−2)]∗r(t)[\delta(t) - \delta(t-2)] * r(t)；(b) u(t+1)∗u(t−3)u(t+1) * u(t-3)；(c) 反过来：找 x(t)x(t)，使 x∗u(t)=u(t−1)−u(t−3)x * u(t) = u(t-1) - u(t-3)；(d) [δ(t)+δ(t−1)]∗[δ(t)−δ(t−1)]∗u(t)[\delta(t) + \delta(t-1)] * [\delta(t) - \delta(t-1)] * u(t)。

看解答

(a) 分配律 + 性质 5：一项是 rr 原样，一项是 rr 晚 2：

[δ−δ(t−2)]∗r=r(t)−r(t−2)[\delta - \delta(t-2)] * r = r(t) - r(t-2)

分段：t<0t\lt 0 为 0；0<t<20\lt t\lt 2 为 tt；t>2t\gt 2 为 t−(t−2)=2t - (t-2) = 2。斜坡被"削平"在 2。

(b) 平移规则：u(t+1)u(t+1) 是 uu 提前 1（t1=−1t_1 = -1），u(t−3)u(t-3) 是 uu 晚 3（t2=3t_2 = 3）。u∗u=t u(t)u * u = t\,u(t)，整体平移 t1+t2=2t_1 + t_2 = 2：

u(t+1)∗u(t−3)=(t−2) u(t−2)u(t+1) * u(t-3) = (t-2)\,u(t-2)

延迟可以是负的（提前），规则照样成立。

(c) 性质 7：x∗ux * u 是 xx 的 running integral，所以 xx 是右边的导数。u(t−1)−u(t−3)u(t-1) - u(t-3) 在 1 处跳上 1、在 3 处跳下 1，导数是两个 impulse：

x(t)=δ(t−1)−δ(t−3)x(t) = \delta(t-1) - \delta(t-3)

检查：从头积 δ(t−1)−δ(t−3)\delta(t-1) - \delta(t-3)，过 1 时加 1、过 3 时减 1，正好是 1 到 3 的矩形 ✓。

(d) 先把两组 impulse 卷开（分配律 + 性质 5：δ(t−a)∗δ(t−b)=δ(t−a−b)\delta(t-a) * \delta(t-b) = \delta(t-a-b)）。和 (1+z)(1−z)=1−z2(1+z)(1-z) = 1-z^2 一样，中间两项相消：

[δ+δ(t−1)]∗[δ−δ(t−1)]=δ−δ(t−1)+δ(t−1)−δ(t−2)=δ(t)−δ(t−2)\begin{aligned} &[\delta + \delta(t-1)] * [\delta - \delta(t-1)] \\ &\quad= \delta - \delta(t-1) + \delta(t-1) - \delta(t-2) \\ &\quad= \delta(t) - \delta(t-2) \end{aligned}

再和 uu 卷（结合律，先算哪两个都行）：u(t)−u(t−2)u(t) - u(t-2)，0 到 2 的矩形。

例题

例 2　中间有缺口的 h：算一块，另一块是平移

x(t)=2x(t) = 2（0<t<20 \lt t \lt 2）；h(t)=1h(t) = 1（0<t<10 \lt t \lt 1 和 2<t<32 \lt t \lt 3），中间 1 到 2 是缺口，其他为 0。求 y=x∗hy = x * h。

1 2 3 4 1 2 0 t x(t)
xx：高 2，0 到 2。
1 2 3 4 1 2 0 t h(t)
hh：0 到 1 和 2 到 3 高 1，中间是缺口。

拆 hh。记 RabR_{ab} 为在 (a,b)(a, b) 上高 1 的矩形：h=R01+R23h = R_{01} + R_{23}，而 R23R_{23} 就是 R01R_{01} 晚 2。

只算一块。x∗R01x * R_{01}：宽 2 高 2 和宽 1 高 1 的矩形，用C·06的通式：0<t<10\lt t\lt 1 为 2t2t，1<t<21\lt t\lt 2 为 2，2<t<32\lt t\lt 3 为 2(3−t)2(3-t)。

另一块 = 平移。平移规则：x∗R23x * R_{23} = x∗R01x * R_{01} 晚 2：2<t<32\lt t\lt 3 为 2(t−2)2(t-2)，3<t<43\lt t\lt 4 为 2，4<t<54\lt t\lt 5 为 2(5−t)2(5-t)。

相加。只有 2<t<32\lt t\lt 3 两块重叠：2(3−t)+2(t−2)=22(3-t) + 2(t-2) = 2。所以 y=2ty = 2t（0–1），22（1–4），10−2t10 - 2t（4–5），其他为 0。

1 2 3 4 5 6 1 2 0 t x * R01 晚 2 的拷贝 y = x * h
灰虚线：x∗R01x * R_{01} 和它晚 2 的拷贝；青色：两者之和。中间平的一段正好填住了缺口。

为什么缺口"不见了"：看翻转的 xx。x(t−λ)x(t-\lambda) 是宽 2 的窗口 [t−2, t][t-2,\ t]，yy = 2 × 窗口里 hh 的面积：

-2 -1 1 2 3 4 5 1 2 0 λ x(t−λ) h(λ)
① 0<t<10\lt t\lt 1：窗口只盖住 R01R_{01} 的 [0, t][0,\ t] → y=2ty = 2t
-2 -1 1 2 3 4 5 1 2 0 λ x(t−λ) h(λ)
② 1<t<41\lt t\lt 4：窗口宽 2，总盖住 1 个单位的 hh（图里 0.5 + 0.5）→ y=2y = 2
-2 -1 1 2 3 4 5 1 2 0 λ x(t−λ) h(λ)
③ 4<t<54\lt t\lt 5：只剩 R23R_{23} 的 [t−2, 3][t-2,\ 3] → y=2(5−t)y = 2(5-t)
检查

起止：0+0=00+0 = 0 到 2+3=52+3 = 5 ✓。连续：t=1,4t = 1, 4 两边都是 2，t=5t = 5 为 0 ✓。面积：Ax=4A_x = 4，Ah=2A_h = 2，yy 面积 1+6+1=81 + 6 + 1 = 8 ✓。也可以拆成 h=R03−R12h = R_{03} - R_{12}（大矩形减小矩形），结果相同。

如果输入只有 1 宽（高还是 2，比缺口窄），同样的做法给出 2t2t、2(2−t)2(2-t)、2(t−2)2(t-2)、2(4−t)2(4-t)：在 t=2t = 2 掉到 0。窄的输入"看得见"缺口，宽的看不见。

#性质一句话
1x∗h=h∗xx*h = h*x翻哪个都行
2f∗(x+y)=f∗x+f∗yf*(x+y) = f*x + f*y拆开分别卷，常数提出来
3f∗(x∗y)=(f∗x)∗yf*(x*y) = (f*x)*y串联系统：h1∗h2h_1 * h_2
4f∗δ=ff*\delta = f原样复制
5f∗Aδ(t−t0)=Af(t−t0)f*A\delta(t-t_0) = A f(t-t_0)平移并缩放
6f∗δ′=f′f*\delta' = f'求导
7f∗u=∫−∞tff*u = \int_{-\infty}^t frunning integral
平移x(t−t1)∗h(t−t2)=y(t−t1−t2)x(t-t_1)*h(t-t_2) = y(t-t_1-t_2)延迟相加
检查起点、终点相加；Ay=AxAhA_y = A_x A_h无 impulse 时还要连续