小练习

$0\lt t\lt 1$：$3t$；$1\lt t\lt 2$：3；$2\lt t\lt 3$：$9-3t$；其他 0。梯形。查连续：$t=1$：3 = 3 ✓；$t=2$：3 = 9−6 ✓；$t=3$：0 ✓。面积：$2 \times 3 = 6$，梯形 $(1+3)/2\times 3 = 6$ ✓。

(a) $r(t) - 2r(t-1) + r(t-2)$：$0\lt t\lt 1$ 为 $t$，$1\lt t\lt 2$ 为 $t - 2(t-1) = 2 - t$，$t\gt 2$ 为 $2 - t + (t-2) = 0$：0 到 2、峰值 1 的三角形。(b) $u * [u - u(t-1)] = r(t) - r(t-1)$（先升 1 秒再平在 1），提前 2：$r(t+2) - r(t+1)$，即 $t\lt -2$ 为 0，$-2\lt t\lt -1$ 为 $t+2$，$t\gt -1$ 为 1。输入里有提前的 $u(t+2)$，结果也就从负时间开始。

$e^{-3t}\int_0^t e^{2\lambda}d\lambda = e^{-3t}\tfrac{e^{2t}-1}{2} = \tfrac12(e^{-t}-e^{-3t})u(t)$。$t=0$ 时为 0 ✓；面积 $1 \times \tfrac13 = \tfrac13$，$\tfrac12(1 - \tfrac13) = \tfrac13$ ✓。

$0\lt t\lt 2$：重叠宽 $t$，$y=t$；$2\lt t\lt 4$：重叠宽 $4-t$；其他 0。三角形，峰值 2 在 $t=2$。面积 $2\times 2 = 4$ ✓。也可用分配律：$P*P = r(t) - 2r(t-2) + r(t-4)$，$r(t) = t\,u(t)$ 是斜坡。

不延迟的结果是 $2(e^{-t}-e^{-2t})u(t)$，在 $t = \ln 2$ 最大（$\tfrac12$）。整体晚 3：$x*h = 2\big(e^{-(t-3)} - e^{-2(t-3)}\big)u(t-3)$，在 $t = 3 + \ln 2 = 3.693$ 最大，值 $\tfrac12$。起点 $1 + 2 = 3$ ✓。

$20\,\dfrac{e^{-t}-e^{-2t}}{2-1}u(t) = 20(e^{-t}-e^{-2t})u(t)$ V，和书上答案一致。

$x = \delta(t) + \delta(t-1) + \delta(t-2)$：$P(t) + P(t-1) + P(t-2)$ 正好铺满 $[0, 3]$ ✓。注意结果有跳变：有 $\delta$ 时结果可以不连续。