课上的两道图解 convolution 例题

① 写出两个函数在 τ 轴上的样子（读图）。

• 固定的 $u(\tau)$：$\tau \gt 0$ 时为 1，$\tau \le 0$ 时为 0。
• 翻转平移的 $h(t - \tau)$：不为 0 的条件 $0 \le t - \tau \le 1$，即 $t - 1 \le \tau \le t$。值：把 $1 - t$ 里的 $t$ 换成 $t - \tau$，得 $1 - (t - \tau) = 1 - t + \tau$。在 $\tau = t - 1$ 处是 0，在 $\tau = t$ 处是 1：原来往右下降的三角形，翻过来变成往右上升。

② 找分段点。滑动三角形的两端是 $t - 1$ 和 $t$，$u$ 的有效区从 0 开始。右端 $t$ 到达 0（$t = 0$）时开始重叠；左端 $t - 1$ 到达 0（$t = 1$）时三角形整个进入 $\tau \gt 0$。所以分三段：$t \lt 0$、$0 \le t \le 1$、$t \gt 1$。

③ 每一段积分。三张小图各取一段里的一个 $t$（橙 = 固定的 $u(\tau)$，青 = 滑动的 $h(t - \tau)$，阴影 = 乘积的面积 = $y(t)$）：

只有中间一段要真的积分。积分变量是 $\tau$，$1 - t$ 是常数：

$$\begin{aligned} y(t) &= \int_0^t (1 - t + \tau)\,d\tau \\ &= (1 - t)\,t + \frac{t^2}{2} = t - \frac{t^2}{2} \end{aligned}$$

几何核对：中间那张图的阴影是梯形，$\tau = 0$ 处高 $1 - t$，$\tau = t$ 处高 1，宽 $t$，面积 $t \cdot \frac{(1 - t) + 1}{2} = t - \frac{t^2}{2}$ ✓。最后一张图的阴影是整个三角形，面积 $\frac12 \times 1 \times 1 = \frac12$，和 $t$ 无关。

$$y(t) = \begin{cases} 0, & t \lt 0 \\ t - t^2/2, & 0 \le t \le 1 \\ 1/2, & t \gt 1 \end{cases}$$

④ 检查。$t = 1$：中间一段给 $1 - \frac12 = \frac12$，和最后一段相等，连续 ✓（两个函数都没有 impulse，输出一定连续）。终值 $\frac12$ 等于 $h$ 的总面积：阶跃输入最后把整个 $h$ 都积了进来。$y(0.5) = 0.5 - 0.125 = 0.375 = \frac38$，就是上图的阴影。

⑤ 另一种做法（课上也讲了）。和 $u$ 做 convolution 就是 running integral：$u(t - \tau)$ 在 $\tau \lt t$ 时为 1、$\tau \gt t$ 时为 0，所以 $\int h(\tau)\,u(t - \tau)\,d\tau = \int_{-\infty}^{t} h(\tau)\,d\tau = \frac1p h$。按 6·02 的方法把 $h$ 写成 $h = u(t) - r(t) + r(t - 1)$（检查 $t \gt 1$：$1 - t + (t - 1) = 0$ ✓），再用 6·01 的链逐项积：$\frac1p u = r$，$\frac1p r = \frac12 t^2 u$，$\frac1p r(t - 1) = \frac12 (t - 1)^2 u(t - 1)$：

$$y = r(t) - \tfrac12 t^2 u(t) + \tfrac12 (t - 1)^2 u(t - 1)$$

$0 \lt t \lt 1$ 时只有前两项：$t - \frac{t^2}{2}$ ✓。$t \gt 1$ 时展开最后一项：$t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^2 - 2t + 1}{2} = \frac12$ ✓。

⑥ 反向核对。$y$ 的导数应该回到 $h$：$0 \lt t \lt 1$ 时 $\frac{d}{dt}\big(t - \frac{t^2}{2}\big) = 1 - t$ ✓，其余地方 $y$ 是常数，导数 0 ✓。

① 选哪个翻转、画出来（读图）。两个函数都是平的，课上翻转脉冲（交换律：$y = \int h(\tau)\,x(t - \tau)\,d\tau$）。$x(t - \tau)$ 不为 0 的条件 $0 \lt t - \tau \le 1$，即 $t - 1 \le \tau \lt t$，值为 1。$h(\tau) = u(\tau)$ 在 $\tau \gt 0$ 为 1。

② 分段点。脉冲右端 $t$ 到达 0：$t = 0$；左端 $t - 1$ 到达 0：$t = 1$。

③ 每一段。乘积是 1，面积 = 重叠长度（这个捷径只在两个高度相乘等于 1 时成立）：

④ 写成积木。0、然后斜率 1 升到 1、然后保持：这就是 6·02 例 2 的形状，$y = r(t) - r(t - 1)$。

⑤ 核对。积分器的输出是输入的 running integral：$\frac1p[u(t) - u(t - 1)] = r(t) - r(t - 1)$ ✓。