公式、记号和积分上下限

两本书写 convolution 用的符号不同，积分上下限也常被简化。这一节先对照记号，再证明交换律，最后说明什么时候可以把 $\int_{-\infty}^{\infty}$ 换成 $\int_0^t$，以及换完之后还要注意什么。

① 两本书的记号

Alexander 写 $x(t) * h(t)$，哑变量用 $\lambda$。Davis 写 $x(t) \otimes y(t)$（他用 $y$ 表示参与 convolution 的第二个函数，不一定是输出），哑变量用 $\alpha$，并把 $\alpha$ 叫作 running variable（积分时"跑动"的变量）。Davis 式 (13.8-22)：

$$x(t) \otimes y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\alpha)\,y(t-\alpha)\,d\alpha$$

它和 Alexander 的 (15.66) 一字不差，只是字母不同。两本书的出发点不同：Davis 的 Definition 13.11 先用 Laplace 定义 $x \otimes y = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)Y(s)\}$，Theorem 13.12 再证明它等于这个积分（见C·14）；Alexander 直接用积分定义。课上（第 13 讲）用 $\tau$ 当哑变量，也是同一个东西。

② 交换律 (commutative)：x ⊗ y = y ⊗ x

证明只用一次换元（Davis 13.8-31）：

1. 令 $\beta = t - \alpha$。$t$ 在积分里是常数，所以 $\alpha = t - \beta$，$d\alpha = -d\beta$。
2. 上下限跟着变：$\alpha \to -\infty$ 时 $\beta \to +\infty$；$\alpha \to +\infty$ 时 $\beta \to -\infty$。
3. 代入：$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x(\alpha)\,y(t-\alpha)\,d\alpha = \int_{+\infty}^{-\infty} x(t-\beta)\,y(\beta)\,(-d\beta) = \int_{-\infty}^{\infty} y(\beta)\,x(t-\beta)\,d\beta$。中间那个负号正好用来把上下限换回"从小到大"。
4. 最右边正是 $y \otimes x$ 的定义（哑变量叫 $\beta$ 而已）。

$$x(t)\otimes y(t) = y(t) \otimes x(t) \qquad (13.8\text{-}32)$$

实际意义：C·04 四步法要"翻转"一个函数，你可以挑更简单的那个翻。

③ one-sided 输入 + causal 系统：上下限变成 0 到 t

被积函数 $x(\lambda)\,h(t-\lambda)$ 只有在 $x(\lambda)$ 和 $h(t-\lambda)$ 同时不为 0 的地方才不为 0。用C·01的两个定义：

1. $x$ 是 one-sided 的：$\lambda \lt 0$ 时 $x(\lambda) = 0$，积分下限可以从 $-\infty$ 提到 0（Alexander 15.69）。
2. $h$ 是 causal 的：$t - \lambda \lt 0$，即 $\lambda \gt t$ 时 $h(t-\lambda) = 0$，积分上限可以降到 $t$（Alexander 15.70）。
3. $t \lt 0$ 时"$0 \lt \lambda \lt t$"是空区间，$y = 0$。