和指数 convolution：例 15.14、例 13.55、闭式

上下限。两个都是 one-sided 的，$t \le 0$ 时不重叠，$y = 0$；$t\gt 0$ 时重叠 $0\lt \alpha\lt t$。乘积不是矩形或三角形，要真的积分。

用闭式（把 $2e^{-2t}u$ 当作指数那一个，$a = 2$，前面的 2 提出来）：

$$\begin{aligned} &\int_0^t e^{-\alpha}\,2e^{-2(t-\alpha)}\,d\alpha \\ &\quad= 2e^{-2t}\int_0^t e^{-\alpha}e^{2\alpha}\,d\alpha \\ &\quad= 2e^{-2t}\int_0^t e^{\alpha}\,d\alpha \\ &\quad= 2e^{-2t}\,(e^t - 1) \end{aligned}$$

化简并关掉负时间。$2e^{-2t}(e^t - 1) = 2(e^{-t} - e^{-2t})$：

$$e^{-t}u(t)\otimes 2e^{-2t}u(t) = 2\big(e^{-t}-e^{-2t}\big)u(t)$$

解法 A：拆成两个阶跃（代数）。输入 $= u(t) - u(t-2)$。分配律：

$$i_o = \underbrace{u * h}_{i_o'} \;-\; \underbrace{u(t-2) * h}_{i_o''}$$

$i_o'$ 是 $h$ 的 running integral（C·07）：$i_o' = \int_0^t e^{-\lambda}d\lambda = (1 - e^{-t})u(t)$。$i_o''$ 的输入是晚 2 秒的阶跃，time-invariant 说输出也晚 2 秒：$i_o'' = \big(1 - e^{-(t-2)}\big)u(t-2)$。

$0\lt t\lt 2$：$u(t-2) = 0$，只有第一项，$i_o = 1 - e^{-t}$。$t \gt 2$：两项都在：

$$\begin{aligned} i_o &= (1-e^{-t}) - \big(1-e^{-(t-2)}\big) \\ &= e^{-(t-2)} - e^{-t} = (e^2-1)\,e^{-t}\ \text{A} \end{aligned}$$

解法 B：翻转脉冲（图解）。固定 $h(\lambda) = e^{-\lambda}$，翻转平的 $i_s$：$i_s(t-\lambda) = 1$ 在 $[t-2,\ t]$ 上。临界时刻 0 和 2，每一段一张图：

代入闭式。$a = 1$。$x$ 在 $T = \pi$ 之后为 0，所以上限是 $\min(t, \pi)$：

$$y(t) = e^{-t}\int_0^{\min(t,\pi)} e^{\lambda}\sin\lambda\,d\lambda$$

原函数（分部积分两次）。记 $I = \int e^{\lambda}\sin\lambda\,d\lambda$。第一次让 $\sin\lambda$ 求导：$I = e^{\lambda}\sin\lambda - \int e^{\lambda}\cos\lambda\,d\lambda$。第二次让 $\cos\lambda$ 求导：$\int e^{\lambda}\cos\lambda\,d\lambda = e^{\lambda}\cos\lambda + I$。代回去，$I$ 出现在两边，移项：

$$\begin{aligned} I &= e^{\lambda}\sin\lambda - e^{\lambda}\cos\lambda - I \\ I &= \tfrac12\,e^{\lambda}(\sin\lambda - \cos\lambda) \end{aligned}$$

验证：对右边求导，$\tfrac12 e^{\lambda}(\sin\lambda - \cos\lambda) + \tfrac12 e^{\lambda}(\cos\lambda + \sin\lambda) = e^{\lambda}\sin\lambda$ ✓。它在 0 处的值是 $-\tfrac12$。

① $0 \lt t \lt \pi$。$[I]_0^t = \tfrac12 e^{t}(\sin t - \cos t) + \tfrac12$，乘 $e^{-t}$：

$$y = \tfrac12(\sin t - \cos t) + \tfrac12 e^{-t}$$

② $t \gt \pi$。$\sin\pi = 0$、$\cos\pi = -1$，$[I]_0^\pi = \tfrac12 e^{\pi} + \tfrac12$，是常数，乘 $e^{-t}$：

$$y = \frac{e^{\pi}+1}{2}\,e^{-t} \approx 12.07\,e^{-t}$$

看结果的形状。$\tfrac12(\sin t - \cos t) = \tfrac{1}{\sqrt2}\sin(t - \tfrac{\pi}{4})$：输出还是同频率的正弦，幅度缩小到 $1/\sqrt2$，晚了 $\pi/4$。所以 $y$ 的峰值（0.756，在 $t \approx 2.28$）比输入的峰值（$t = \pi/2$）晚。以后学 phasor 时会看到，这正是一阶低通在 $\omega = 1$ 处的 $1/\sqrt2$ 和 $-45^\circ$。